రామానుజన్ నుండి ఇటూ, అటూ/3. నిష్ప సంఖ్యలు
3.నిష్ప, అనిష్ప, లోకోత్తర సంఖ్యలు
భిన్నాన్ని ఇంగ్లీషులో `ఫ్రేక్షన్` (fraction) అంటారు. తెలుగులో కాని, సంస్కృతంలో కాని `భిన్నం` అంటే 'మామూలుగా కాకుండా మరొక విధంగా' అని అర్థం; `భాగం` అనే సూచనే లేదు. కాని ఇంగ్లీషులో మాత్రం `ఫ్రేక్షన్` అంటే భాగం అనే అర్థం. తెలుగులో “భిన్నాలు" అంటే "మరొక రకమైన సంఖ్యలు" అనే అర్థం స్పురిస్తుంది కాని ఇక్కడ మనం “భాగం” అనే అర్థాన్నే తీసుకుందాం. ఏది ఏమయినా భిన్నం అంటే మనందరికీ తెలుసు కనుక ప్రత్యేకంగా ప్రయాస పడి నిర్వచనం చెప్పను.
భిన్నాలని ఎవరు ఎప్పుడు కనుక్కున్నారో ఎవ్వరికీ తెలియదు. కాని `భిన్నం` అనగా భాగం' అనే భావన మానవుడి పుర్రెలో పుట్టినదే; అంటే, ఇది సహజమైన భావం కాదు, కల్పితమైన భావం. క్రీస్తు పూర్వం 1650 ప్రాంతాలదైన `రిండ్ పపైరస్’ (Rhind papyrus) లో 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 వంటి ఏకలవ భిన్నాలకి (అంటే లవంలో 1 ఉన్న భిన్నాలు), 2/3 కి ప్రత్యేకమైన మాటలు కనిపిస్తాయి. మన తెలుగులో కూడ చూడండి, 1/2 ని అర అనీ, 1/4 ని పావు అనీ అంటాం. మూడు పావులు అని చెప్పాలంటే సంధి చేసి ముప్పావు అంటాం. తెలుగులో, నాకు తెలుసున్నంత వరకు, 2/3 కి గానీ, తదితర భిన్నాలకి గాని ప్రత్యేకమైన పేర్లు ఉన్నట్లు లేదు. ముప్పేట అంటే 3/4 అనే అర్థం వస్తుంది, కాని ఈ మాట కొబ్బరి కాయ ఎంత ముదిరిందో చెప్పడానికే వాడటం చూసేను.
3.1 నిష్ప సంఖ్యలు (Rational Number)
పూర్ణ సంఖ్యలని, భిన్న సంఖ్యలని గుత్తగుచ్చి వాటికి నిష్ప సంఖ్యలు అని ఒక కొత్త పేరు పెడదాం. `నిష్ప సంఖ్యలు` అంటే లవము, హారము ఉండి నిష్పత్తి ని తెలియజేసేవి. ఇక్కడ ఇలా కొత్త పేరు పెట్టడంలో విజ్ఞత తరువాత అర్థం అవుతుంది. ఈ నిష్ప సంఖ్యలనే ఇంగ్లీషులో 'రేషనల్ నంబర్స్' (rational numbers) అంటారు – అంటే ‘రేష్యో’ (ratio) లేదా నిష్పత్తిని సూచించేవి. ('రేషనల్' అన్న ఇంగ్లీషు మాటకి రెండు అర్థాలు ఉన్నాయి: ఒకటి, తర్కబద్ధమైన అనిన్నీ, మరొకటి నిష్పత్తిని సూచించేది అనిన్నీ.) నిష్ప సంఖ్యలని ఉపయోగించి మనం కూడికలు, తీసివేతలు, గుణకారాలు, భాగారాలు చేసినప్పుడు వచ్చే సమాధానం ఎల్లప్పుడూ నిష్ప సంఖ్యే అవుతుంది. అంటే అంకగణితం (arithmetic) చేసేటప్పుడు నిష్ప సంఖ్యలు సంవృతాలు. (Rational numbers are closed under arithmetic operations). అందుకనే నిష్ప సంఖ్యల గురించి మనం ఎంత నేర్చుకుంటే అంత మంచిది.
ఈ ఆధునిక యుగంలో అంకగణితం ఒక్కటీ చెయ్యడం వస్తే సరిపోదని ఏ ఉన్నత పాఠశాల విద్యార్ధిని అడిగినా తెలుస్తుంది. మన ప్రగతికి బీజగణితం (algebra) ఎంతో ముఖ్యం. బీజగణితంలో వర్గమూలం (square root) విలువ కట్టడం ఒక సర్వసాధారణమైన ప్రక్రియ. ఉదాహరణకి 2 యొక్క వర్గమూలం ఉరమరగా 1.414. ఉరమరిక లేకుండా నిక్కచ్చిగా రాయాలంటే 1 వేసి, దాని పక్క దశాంశ బిందువు పెట్టి, అటు తరువాత నిర్విరామంగా అలా అంతులేనన్ని అంకెలని వేసుకుంటూ పోవాలి. ఇటువంటి సంఖ్యలని ఏ రెండు పూర్ణాంకాల నిష్పత్తిలాగా రాయలేము. అంటే, వాటిని భిన్నాలుగా, లేదా నిష్ప సంఖ్యలుగా, రాయలేము. అంటే ఏమిటన్న మాట? మన 2 యొక్క వర్గమూలం పూర్ణ సంఖ్య కాదు, భిన్న సంఖ్య (లేదా నిష్ప సంఖ్య) కాదు. ఇదేదో కొత్త రకం సంఖ్య. బీజగణితంలో ఈ కొత్త రకం సంఖ్యలు కొల్లలుగా కనిపిస్తాయి. కనుక బీజగణితం చేసేటప్పుడు నిష్ప సంఖ్యలు సంవృత లక్షణం ప్రదర్శించటం లేదన్నమాట. సంవృతత్త్వం కావాలంటే సంఖ్యల పరిధిని మరికొంచెం పెంచాలి. ఈ పరిధిని పెంచటానికి కావలసిన కొత్త రకం సంఖ్యలని అనిష్ప సంఖ్యలు (irrational numbers) అంటారు. అంటే, “రేషనల్” కానివి. అంటే, నిష్పత్తిలా రాయటానికి లొంగనివి.
3.2 అనిష్ప సంఖ్యలు (Irrational Numbers)
అనిష్ప సంఖ్య అనే భావం మన అనుభవ పరిధికి అతీతమైనది. వీటిని ఇంగ్లీషులో `ఇర్రేషనల్` (irrational) సంఖ్యలు అంటారు. `రేషనల్` కానివి `ఇర్రేషనల్.` ఇక్కడ ఈ `రేషనల్` అన్న మాట `రేష్యొ` (ratio) అన్న మాటకి సంబంధించినది. ఒక నిష్పత్తి రూపంలో రాయగలిగే సంఖ్యలు నిష్ప సంఖ్యలు (rational numbers). ఒక సంఖ్యని నిష్పత్తి రూపంలో రాయలేని పక్షంలో ఆ సంఖ్య అనిష్ప సంఖ్య (irrational number). పూర్ణ సంఖ్యలు కానివి, నిష్ప సంఖ్యలు కానివి అయిన సంఖ్యలు ఉన్నాయనే విషయం యవనులకి అవగతం అయేసరికి వారి ఆశ్చర్యానికి అంతు లేదు.
తెలుగు అకాడమీ వారి పదకోశంలో ‘అకరణీయ’ అంటే రేషనల్ అనిన్నీ, ‘కరణీయ’ అంటే ఇర్రేషనల్ అనిన్నీ ఉంది. ఈ ప్రయోగాలు నాకు రుచించలేదు. మొదటి అభ్యంతరం: అకరణీయ అంటే ‘ఇర్రేషనల్ కానిది రేషనల్’ అన్న తిరకాసు నిర్వచనంలా అనిపించింది. ‘అబద్ధం కానిది నిజం’ అని నిజానికి నిర్వచనం చెప్పినట్లు అనిపించింది. ఉత్తరోత్తర్యా తెలుగు లోంచి ఇంగ్లీషులోకి వెళ్లవలసి వచ్చినప్పుడు ‘అకరణీయ’ లో ‘అ’ ని చూసి ఇది ‘ఇర్రేషనల్’ అనుకునే ప్రమాదం ఉంది. రెండవ అభ్యంతరం: ఈ ‘కరణ’ శబ్దానికి మూలం ఏమిటో తెలియకపోవడం వల్ల ఈ ప్రయోగం స్వయంబోధకంగా లేదనిపించింది. తెలుగు అకాడమీ వారి పదకోశంలో మరొక చోట ‘రేషనల్’ అంటే ‘సయుక్తిక’ అనిన్నీ, ‘ఇర్రేషనల్’ అంటే ‘యుక్తి విరుద్ధమైన’ అనిన్నీ ఉన్నాయి. ఇదీ నాకు రుచించలేదు. అందుకని నిష్ప సంఖ్యలు, అనిష్ప సంఖ్యలు అనే కొత్త ప్రయోగం చేసి చూస్తున్నాను.
అనిష్ప సంఖ్యల అవసరం మన దైనందిన వ్యవహారాలలో ఎలా వస్తుందో చూపిస్తాను. ఒక చతురస్రంలో కర్ణం యొక్క పొడుగుని లెక్క కట్టాలంటే భుజం పొడుగుని ఏ నిష్ప సంఖ్యతో గుణించినా సరి అయిన సమాధానం రాదని పైథోగరోస్ కనుక్కున్నాడు. ఇదే విషయం మరొక విధంగా చెపుతా. ఒక చతురస్రంలో కర్ణం పొడుగుకి, భుజం పొడుగుకి మధ్య ఉండే సంబంధాన్ని రెండు పూర్ణ సంఖ్యల నిష్పత్తితో వ్యక్త పరచ లేము. మన చతురస్రం యొక్క భుజం పొడుగు ఒక అంగుళం అనుకుంటే, పైథోగరోస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం, కర్ణం పొడుగు √2 (అంటే 2 యొక్క వర్గమూలం) అంగుళాలు. కనుక √2 అనిష్ప సంఖ్యకి ఒక ఉదాహరణ. పైథోగరోస్ కి అనిష్ప సంఖ్యకి మధ్య ఉన్న బాదరాయణ సంబంధాన్ని పురస్కరించుకుని √2 కి “పైథోగరోస్ సంఖ్య” అని పేరు పెట్టేరు.
అనిష్ప సంఖ్యలు ఉన్నాయనే విషయం మొట్టమొదట పైథోగరోస్ మనోవీధిలోనే మెరిసి ఉండుంటుందని కొందరి సిద్ధాంతం. ఇది నిజమో కాదో ఇతమిద్ధంగా మనకే కాదు, ఎవ్వరికీ తెలియదు. ఎందుకంటే బాబిలోనియా లోని మట్టి పలకల మీద చూపిన ఒక లెక్కలో √2 యొక్క విలువ 14 దశాంశ స్థానాల వరకు తప్పు లేకుండా లెక్క కట్టబడి ఉంది. కాని పైథోగరోస్ శిష్యులు తమ కూటమే ఈ ఘన విజయం మొట్టమొదటగా సాధించిందన్న అపోహతో శత వృషభ శిరచ్చేద యాగం చేసేరని ఒక ఐతిహ్యం ఉంది.
ఒకొక్క బాహువు పొడుగు ఒకొక్క అంగుళం చొప్పున ఉన్న (సమబాహు) చతుర్భుజి యొక్క కర్ణం √2 అయినట్లే, ఒకొక్క బాహువు పొడుగు ఒకొక్క అంగుళం చొప్పున ఉన్న (సమబాహు) పంచభుజి యొక్క కర్ణం కూడా అనిష్ప సంఖ్యే. దీనిని ముద్దుగా సువర్ణ నిష్పత్తి (golden ratio) అని పిలుస్తారు. దీని విలువ (1 + √5)/2. ఒక దీర్ఘ చతురస్రం పొడుగు వెడల్పులకి మధ్య ఉండే నిష్పత్తి ఈ సువర్ణ సంఖ్యకి దగ్గరగా ఉంటే ఆ దీర్ఘ చతురస్రం కంటికి ఎంతో ఇంపుగా కనిపిస్తుందని చిత్రకారులు అంటారు. మనుష్యుల ముఖాలు కొంచెం పరిశీలించి చూడండి. అవి గుండ్రంగా చంద్రబింబాన్ని పోలి ఉంటే చలివిడి ముద్దలాగో, బోర్లించిన సిబ్బిలాగో ఉందంటాం. కోలగా పొడుగ్గా ఉంటే గజం బద్దలా ఉందంటాం. ముఖం పొడవు, వెడల్పు మధ్య ఉండే నిష్పత్తి సువర్ణ సంఖ్యకి దగ్గరగా ఉన్నప్పుడు ఆ ముఖం అందంగా కనిపిస్తుందిట.
నిష్ప సంఖ్యలని, అనిష్ప సంఖ్యలని కూడ సంఖ్యా రేఖ మీద చూపించవచ్చు. బొమ్మ 3.1, బొమ్మ 3.2 చూడండి 
3.3 లోకోత్తర సంఖ్యలు (Transcendental Numbers)
అనిష్ప సంఖ్యల ఉనికి బీజ సమీకరణాలు (algebraic equations) పరిష్కరిస్తూన్న సందర్భంలో అవగతం అవుతాయి. ఒక సమీకరణం బీజ సమీకరణం కాని సందర్భాలలో మరొక రకం సంఖ్యలు ఎదురవుతాయి. వీటిని లోకోత్తర సంఖ్యలు అని అందాం. ఈ జాతికి చెందిన సంఖ్యకి ఉదాహరణ 𝜋 (పై). ఒక వృత్తంలో పరిధి పొడుగుని వ్యాసం పొడుగు చేత భాగిస్తే ఆ భాగారం ఎంతసేపు చేసినా తెగదు. అందుకని ఆ భాగఫలానికి ప్రత్యేకించి ఒక పేరు కేటాయించేరు. ఆ పేరే “పై.” ఈ 𝜋 అనిష్ప సంఖ్య జాతికి చెందదని పెద్దలు తీర్మానించి, ఈ జాతి సంఖ్యలని లోకోత్తర లేదా అనుభవాతీత లేదా బీజాతీత సంఖ్యలు అనమని చెప్పేరు. ఈ 𝜋 రామానుజన్ ప్రీతిపాత్రమైన సంఖ్యలలో ఒకటి. ఈ 𝜋 విలువ 39 దశాంశ స్థానాల వరకు
𝜋 = 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 420….
సహజ సంవర్గమానం (natural logarithm) కి మూలమైన నేపియర్ సంఖ్య e కూడ లోకోత్తర సంఖ్యే. ఈ e విలువ 26 దశాంశ స్థానాల వరకు
e = 2. 71828 18284 59045 23536 02874 ….