రామానుజన్ నుండి ఇటూ, అటూ/10. రీమాన్ శిష్టాభిప్రాయం
10. రీమాన్ శిష్టాభిప్రాయం
పైసా ఖర్చు లేకుండా మిలియన్ డాలర్లు సంపాదించే ఉపాయం చెబుతాను, వింటారా?
“అంత తేలికైతే మీరే ఆ ఉపాయం వాడుకో వచ్చు కదా?” అని మీరు అడగొచ్చు.
“తేలిక అన లేదు. ‘కానీ ఖర్చు లేకుండా’ అన్నాను. లాటరీ టికెట్టు కొనక్కరలేదు, వేగస్ కి వెళ్లి వేలు తగలేసుకు రానక్కరలేదు. కడుపులో చల్ల కదలకుండా ఇంట్లో కూర్చుని సంపాదించే ఉపాయం.”
“చెప్పండి, అయితే!”
“రీమాన్ ఉటంకించిన శిష్టాభిప్రాయం (conjecture) ఒప్పే” అని రుజువు చేస్తే క్లే మేథమేటికల్ ఇన్స్టిటూట్ (Clay Mathematical Institute) వారు బిళ్ల కుడుముల్లాంటి డాలర్లు – మిలియను డాలర్లు - పట్టుకొచ్చి ఒళ్లో పోస్తామని సా. శ. 2000 లో ప్రకటన చేసేరు.
“ఏమిటా శిష్టాభిప్రాయం?”
“జీటా ప్రమేయం యొక్క శూన్యస్థానాలు (zeros of the zeta function) లేదా మూలాలు (roots) అన్నీ (నిజ, రుణ రేఖ మీద కనబడే సాధారణ మూలాలని మినహాయించి) సంకీర్ణ లేదా జంట తలంలో (అనగా, complex plane లో) x = ½ అనే రేఖ మీదే గుమిగూడి ఉన్నాయి” అని ఋజువు చెయ్యాలి. ఇది నిజమే సుమా అని రీమాన్ ఒక అమూల్య అభిప్రాయం వెలిబుచ్చేరు - ఋజువు చెయ్యకుండా! మనకి ఇప్పుడు ఆ ఋజువు కావాలి. ఈ అభిప్రాయం నిజమే అని ఋజువు చేసిన వారికి మిలియను డాలర్లు బహుమానం ఇచ్చెస్తారు. అంతటితో పురస్కార పరంపర ఆగిపోదు. ఏదో పెద్ద విశ్వవిద్యాలయం వారు ఆచార్య పదవి అంటగడతారు. “నీ తెలివిని, నా అందాన్ని పుణికిపుచ్చుకుని పిల్లలు పుట్టొచ్చు కదా” అని హా(బా)లివుడ్ తార పెళ్లి ప్రతిపాదిస్తే, మిలియను డాలర్లతో పాటు స్వర్గ ద్వారాలు కూడ తెరుచుకోవచ్చు! సమస్య చెప్పేసి పారిపోతే ఏమి మర్యాదగా ఉంటుంది? పరిష్కారానికి దారి కూడ చూపుతాను. ఏ పుట్టలో ఏ పాము ఉందో?
అంచెలంచెల మీద లోతుకి తీసుకు వెళతాను. గణితంలో సంప్రదాయికంగా వాడే సంకేతాలతో పరిచయం ఒక మోతాదు, కలన గణితంతో పరిచయం ఒక మోతాదు, ఉత్సాహం ఒక మోతాదు ఉంటే నేను చెప్పేది అర్థం చేసుకుందుకి పెద్దగా పాండిత్యం అక్కరలేదు. సమస్య అర్థం అయిన తరువాత, దానిని పరిష్కరించి, మిలియను డాలర్లు కొట్టేయడానికి కొంచెం లోతుగానే పాండిత్యం ఉండాలి (బొమ్మ 10.1 చూడండి).
10.1 చారిత్రక నేపథ్యం
రీమాన్ గురించి ఒక మాట. రీమాన్ (Georg Friedrich Bernhard Riemann, September 17, 1826 – July 20, 1866) తన 28 వ ఏట, అనగా 1854లో, చేసిన ప్రసంగాన్ని ఆధారంగా చేసుకుని అయిన్‌స్టయిన్ తన సార్వత్రిక సాపేక్ష సిద్ధాంతం (General Theory of Relativity) అనే మహా సౌధాన్ని లేవనెత్తేడు. గణితంలో రీమాన్ అంతటి దిట్ట. అదే వ్యక్తి అయిదేళ్లు పోయిన తరువాత, 1859 లో కేవలం పది పుటలు పొడుగున్న ఒక పరిశోధనా పత్రాన్ని ప్రచురించి గణిత ప్రపంచాన్ని అదరగొట్టేడు. ఆ పత్రంలోనే ఆయన తన శిష్టాభిప్రాయాన్ని వెలిబుచ్చేరు. చిత్రం ఏమిటంటే సంఖ్యా వాదం (Number Theory) లో ఆయన రాసిన ఏకైక పరిశోధనా పత్రం ఇది.
అప్పటికే ఎంతో పేరు మోసిన ప్రధాన సంఖ్యా సిద్ధాంతం (The Prime Number Theorem) మీద ఈ శిష్టాభిప్రాయం ఎంతో ప్రభావం చూపడం వల్ల, ఈ సమస్యని పరిష్కరించవలసిన అవసరం కీలకం అయి కూర్చుంది. ఈ ప్రధాన సంఖ్యా సిద్ధాంతానికి పెద్ద ప్రవరే ఉంది. ఇచ్చిన ఒక “సరిహద్దు” సంఖ్య x ని మించకుండా ప్రధాన సంఖ్యలు ఎన్ని ఉన్నాయో ఊహించి ఉరమరగా చెబుతుంది ఈ సిద్ధాంతం. ఈ ఉరమర మద్దింపుకి లెజాండర్ ఒక సూత్రాన్ని ఇస్తే దానిని కాసింత మెరుగు పరచి గౌస్ (Johann Carl Friedrich Gauss, 30 April 1777 – 23 February 1855) తన 18 వ ఏట మరొక సూత్రాన్ని ప్రవచించేరు. నిజ రేఖ మీద ఒక హద్దుని ఇస్తే, ఆ హద్దుని మించకుండా ఆ రేఖ మీద ఎన్ని ప్రధాన సంఖ్యలు ఉంటాయో ఉరమరగా చెబుతుంది ఈ సూత్రం. గౌస్ అంచనాని మరింత మెరుగు పరచి రీమాన్ (గౌస్ శిష్యుడు) మరొక సూత్రం ఇచ్చేరు. ఈ సూత్రం పనిచేస్తున్నట్లే ఉంది కాని పునాదులు ఎంత దిట్టంగా ఉన్నాయో తెలియదు. పునాదులు దిట్టంగా ఉండాలంటే రీమాన్ వెలిబుచ్చిన శిష్టాభిప్రాయం నిజం అవాలి. అప్పుడు గౌస్ ఇచ్చిన ఆ ఉరమర లెక్కలో “దోషం” (error) ఎంత ఉందో లెక్క కట్టవచ్చు.
ముందుకి కదిలే ముందు, ఇక్కడ మనకి కావలసిన అవసరాల మేరకి, ప్రమేయం (function) అంటే ఏమిటో చెప్పనివ్వండి. ప్రమేయం ఒక పెట్టె లాంటిది. ఈ పెట్టెకి ఒక పేరు ఉంటే బాగుంటుంది కదా. సర్వసాధారణంగా, ఇంగ్లీషు ప్రపంచంలో, ఇటువంటి పెట్టెకి f అనే పేరు పెడతారు. ఈ పెట్టె లోనికి మనం x అనే అంశాన్ని పంపితే ఈ పెట్టె మరొక అంశాన్ని బయటకి వెలిగక్కుతుంది – అది ఈ పెట్టె లక్షణం. ఈ ప్రక్రియని గణిత పరిభాషలో f(x) అని రాస్తారు. అంటే, ఉదాహరణకి “f అనే పెట్టెలోకి x అనే సంఖ్యని పంపితే బయటకి f(x) అనే సంఖ్య వస్తుంది” అని అర్థం.
ఇప్పుడు లెజాండర్-గౌస్ నిర్మించిన సూత్రాన్ని వాడడం ఎలాగో చూపెడతాను. చిన్న ఉదాహరణగా x అనే హద్దు పెడదాం. ఈ x ని మించకుండా ఎన్ని ప్రధాన సంఖ్యలు ఉన్నాయో ఆ సంఖ్యని n(x) అనే ప్రమేయంతో సూచిద్దాం. దిగువ పట్టిక చూడండి. ఈ n(x) ఉరమరగా x/ ln x అంత ఉంటుంది అన్నారు లెజాండర్. మచ్చుకి x = 100 అయితే, 100/ ln 100 = 21.7 కనుక 100 లోపున ఉరమరగా 22 ప్రధాన సంఖ్యలు ఉంటాయని ఈ సూత్రం అంచనా వేస్తోంది. నిజానికి 100 లోపున 25 ప్రధాన సంఖ్యలు ఉన్నాయి (లెక్క వేసి చూసుకొండి). కనుక ఈ అంచనాలో దోషం 22 - 25 లేదా “వందింట -3” లేదా 3 శాతం. మరొక మచ్చుగా హద్దు x = 1000, 000,000 అయితే మన అంచనా 109/ ln 109 = 50,847,534. నిజానికి బిలియను హద్దు లోపున 48,254,942 ప్రధాన సంఖ్యలు ఉన్నాయి (ఇది మీరు లెక్క వేసి చూసుకోలేరు కాబట్టి నా మాట నమ్మండి.) కనుక లెజాండర్ అంచనాలో దోషం 48,254,942 - 50,847,534 = -2,592,592 లేదా 0.25 శాతం. ఈ లెజాండర్ లెక్కని గౌస్ మెరుగు పరచేరు. నిజ రేఖ మీద దూరం వెళుతూన్న కొద్దీ గౌస్ అంచనా మెరుగవుతుంది (ఈ దిగువ పట్టిక చూడండి). రీమాన్ శిష్టాభిప్రాయమే ఋజువయితే ఈ అంచనాని పట్టికలో చూపినట్లు ఇంకా మెరుగు పరచవచ్చు. అదీ రీమాన్ శిష్టాభిప్రాయం ప్రాముఖ్యతకి కారణం.
| x | n (x) | లెజాండర్ లెక్కలో దోషం | గౌస్ లెక్కలో దోషం | రీమాన్ లెక్కలో దోషం |
|---|---|---|---|---|
| 10 | 4 | 0 | 2 | - |
| 102 | 25 | -3 | 5 | 1 |
| 103 | 168 | -23 | 10 | 0 |
| 106 | 78498 | -6116 | 130 | 29 |
| 109 | 50847534 | -2592592 | 1701 | -79 |
10.2 రీమాన్ జీటా ప్రమేయం
ఇప్పుడు మళ్లా మన ప్రమేయం అనే పెట్టె వద్దకి వద్దాం. సర్వసాధారణంగా పెట్టె లోపల ఏమి జరుగుతోందో చెప్పడానికి ఒక సమీకరణం వాడతారు. ఉదాహరణకి f(x) = x2 అని చెప్పేమనుకుందాం. దీని అర్థం ఏమిటంటే పెట్టెలోకి x ని పంపితే, పెట్టె x2 ని బయటకి వెలిగక్కుతుంది. ఇంకా వివరంగా చెప్పాలంటే x = 1 అయితే పెట్టె బయటకి 12 = 1 వస్తుంది, x = 2 అయితే పెట్టె బయటకి 22 = 4 వస్తుంది, x = 3 అయితే పెట్టె బయటకి 32 = 9 వస్తుంది. పెట్టె లోపలికి నిజ సంఖ్యలే వెళ్లనక్కర లేదు; కల్పన సంఖ్యలు (imaginary numbers) కూడ వెళ్ల వచ్చు; x = i అయితే పెట్టె బయటకి i2 = -1 వస్తుంది.
రీమాన్ తన అలవాటు ప్రకారం తను వాడిన ప్రమేయానికి “జీటా” ʅ (s) అని పేరు పెట్టేరు. ఇక్కడ s అనేది జంట సంఖ్య (complex number) ని సూచిస్తుంది. కనుక ఈ జీటా ఫంక్షన్ అనే పెట్టె లోకి a + bi అనే జంట సంఖ్యని పంపితే బయటకి c + di అనే మరొక జంట సంఖ్య వస్తుంది. కొద్ది సేపట్లో రీమాన్ పేరు మీదుగా ఉన్న ఈ “జీటా ఫంక్షన్” రూపం రాసి చూపెడతాను. రీమాన్ జీటా ప్రమేయాన్ని ఆయిలర్-రీమాన్ జీటా ప్రమేయం అని కూడ అంటారు; ఆయిలర్ తన ప్రమేయాన్ని నిజ రేఖ మీద నిర్వచిస్తే రీమాన్ అదే ప్రమేయాన్ని జంట తలం మీద అనువర్తించేలా చేసేరు. రీమాన్ జీటా ప్రమేయం బొమ్మ 10.3 లో చూపెడుతున్నాను.
ఇక్కడ s అనేది జంట చలనరాసి (complex variable). అంటే, s = a + bi లా ఉంటుంది. ఇందులో a అన్నది నిజ అక్షం మీద దూరం, b అన్నది కల్పన అక్షం మీద దూరం. ఈ జీటా ప్రమేయాన్ని అర్థం చేసుకోడానికిగాను s కి రకరకాల విలువలు ఇచ్చి ఈ ప్రమేయం విలువలు కట్టి చూద్దాం.
ఉదాహరణకి s = 1 అయితే -
ζ(1) = 1/1 +1/2+ 1/3 + 1/4 + …
కళాశాలలో మొదటి సంవత్సరం విద్యార్ధిని ఎవ్వరిని అడిగినా పైన చూపిన శ్రేణిని (లేదా శ్రేఢిని) హరాత్మక శ్రేణి (harmonic series) గా గుర్తు పట్టి దాని మొత్తం అనంతం (∞) అవుతుందని చెప్పగలడు. అనగా జీటా ప్రమేయానికి s = 1 దగ్గర అస్తిత్వం లేదు. శూన్యస్థానాన్ని ఇంగ్లీషులో “జీరో” (zero) అన్నట్లే ఈ s = 1 అనే బిందువు సూచించే అనంత స్థానాన్ని ఇంగ్లీషులో “పోల్” (pole) అంటారు. వీటిని తేలికగా శూన్యాలు, అనంతాలు (zeros and poles) అంటారు.
మరొక ఉదాహరణగా s = 2 అయితే, ζ(2) = 𝜋*𝜋/6 అవుతుందని ఋజువు చెయ్యవచ్చు. ఇక్కడ నక్షత్రాన్ని గుణకారానికి గుర్తుగా వాడేను. ఆయిలర్ ఇచ్చిన ఋజువు పాఠ్యపుస్తకాలలో సులభంగా దొరుకుతుంది. నిజానికి s విలువ 1 కానంత సేపూ ζ(s )విలువని “ఇంత” అని నిర్ధారించడం పెద్ద కష్టం కాదు.
మరొక ఉదాహరణగా s = - 2 అయితే ζ(-2) = 0 అవుతుందని ఋజువు చెయ్యవచ్చు. నిజానికి s విలువ -2, - 4, - 6,... అయినంత సేపూ ζ(s ) విలువని “సున్న” అని నిర్ధారించడం కూడ పెద్ద కష్టం కాదు.
మూడవ ఉదాహరణగా s = -1 అయితే,
ζ(-1) = 1 +2+ 3 + 4 + …
అనగా 1 నుండి నిర్విరామంగా వచ్చే పూర్ణ సంఖ్యలన్నిటిని కూడితే వచ్చే మొత్తం ఎంతో అంత అన్నమాట. అలా దూరం వెళుతూన్న కొద్దీ మొత్తం పెరుగూనే ఉంటుంది కదా. ఈ అంక శ్రేణి (arithmetic series) విలువ అనంతం ( ∞ ) అవుతుందని అనిపిస్తుంది కాని అలా అవనక్కర లేదని ఇప్పుడు ఋజువు చేస్తాను.
ఈ రకం అపసరణ (divergent) పరిస్థితి ఎదురయినప్పుడు ఆ చేస్తూన్న లెక్క ఎందుకూ పనికిరాకుండా పోతుంది. గణిత శాస్త్రవేత్తలయితే ఇటువంటి అపసంతి శ్రేణికి ముందొక పేరు పెట్టి, పక్కన పెట్టి, మరొక “చెప్పిన మాట వినే” సమస్యని ఎన్నుకుంటారు. కనుక మనం కూడ ఈ రకం శ్రేణి (series) కి అపసరణ శ్రేణి లేదా అపసృత శ్రేణి (divergent series) అని పేరు పెడదాం.
భౌతిక శాస్త్రంలో - ప్రత్యేకించి గుళిక వాదం (quantum theory)లోనూ, పోగుల వాదం (string theoryలోనూ - ఇటువంటి శ్రేణి ఎదురయితే ఏదో పేరు పెట్టేసి తప్పించుకు తిరగడానికి వీలు పడదు. వారు సాధించ దల్చుకున్న సమస్యకి పరిష్కారం కావాలనుకుంటే పైన చూపించిన శ్రేణిని కూడగా వచ్చిన మొత్తాన్ని వాడాలి. కాని ఆ మొత్తం అనంతం ( ∞ )అయితే దానిని వాడలేరు. ఏదో ఒక పరిమితమైన సంఖ్యని వాడి రోజు గడుపుకోవాలి. ఏమిటా పరిమితమైన సంఖ్య?
ఇటువంటి అపసరణ శ్రేణులని ఎలా మచ్చిక చేసుకుని ఉపయోగించుకోవచ్చో రామానుజన్ తన "నోటు” పుస్తకాలలో చెప్పేరు. బొమ్మ 10.4 చూడండి.
10.3 రీమాన్ జీటా ప్రమేయం విలువ
భౌతిక శాస్త్రవేత్తలకి లెక్కలు లేక పోతే రోజు గడవదు. కాని లెక్కల మేష్టారు చెప్పినట్లు లెక్క చేస్తే ఆశించిన సమాధానం రాకపోతే లెక్క “కిట్టించడానికి” జంకరు. ఈ రకం “కిట్టించడం” అనే ప్రక్రియకి పరిభాషలో, సందర్భానుసారంగా, ‘రెగ్యులరైజేషన్,’ ‘సమబిలిటీ,’ వగైరా పేర్లు వాడుతూ ఊంటారు. అదే జరిగింది. పైన రాసిన శ్రేణి విలువ ఎంతకి కిట్టించడం? రామానుజన్ నోటు పుస్తకాలలో దీని విలువ – (1/12) అని ఉంది కనుక ఆ విలువ అయితే అన్ని విధాలా నప్పుతుందని ఒకరు అన్నారు. అందరూ సై అంటే సై అన్నారు. అనగా, ఇప్పటి నుండి
S = 1 + 2 + 3 + 4 + ....= - (1/12)
ధన సంఖ్యలన్నిటిని కలిపితే ఋణ సంఖ్య ఎలా వస్తుందండీ? కలికాలం కాకపోతే. పూర్ణాంకాలన్నిటినీ కలిపితే భిన్నాంకం ఎలా వస్తుందండీ, విడ్డూరంగా లేదూ? ఎవ్వరు ఎన్ని అభ్యంతరాలు చెప్పినా ఈ స్థావర జంగమాత్మకమైన సృష్టిలో S = (-1/12) అయితేనే ఈ విశ్వం “ఊష్! కాకీ” అంటే ఎగిరిపోయిన కాకిలా ఎగిరిపోకుండా ఏదో ఇలా నడుస్తుందిట. అందుకని ఈ సందర్భంలో అహం దెబ్బ తిన్న ఒక లెక్కల మేష్టారు ఈ కింది విధంగా ఒక ఋజువు తయారు చేసేరు.
10.3.1 జీటా ప్రమేయం విలువ: తేలిక పధ్ధతి
ముందు S1 అనే మరొక శ్రేణితో మొదలు పెడదాం.
(పిట్ట కథ: ఈ శ్రేణి విలువ ½ అని కూడ రామానుజన్ నోటు పుస్తకాలలో ఉంది. ఈ రకం అపసరణ శ్రేణిని మొత్తం చెయ్యడానికి ఇది ప్రత్యేకమైన పద్ధతి అని కాని, దీని గురించి ఆయన ఇతర ఆలోచనలు కాని ఏవీ ఆ పుస్తకాలలో లేవు. ఈ రకం కూడిక పద్ధతిని రామానుజన్ పద్ధతి అంటారు. ఇప్పుడు ఈ విలువ భౌతిక శాస్త్రంలో వీశ్వాన్ని అర్థం చేసుకునే పోగుల వాదంలో (string theory) చాల ప్రాముఖ్యత వహిస్తోంది.)
S1 = 1 – 1 + 1 -1 + 1 – 1 +.......
ఈ శ్రేణిలో ఒకే ఒక అంశం (పదం) ఉంటే ఆ పాక్షిక మొత్తం (partial sum) విలువ 1. రెండు అంశాలు ఉంటే పాక్షిక మొత్తం విలువ 1 – 1 = 0. మూడు అంశాలు ఉంటే పాక్షిక మొత్తం విలువ 1 – 1 + 1 = 1. అంటే ఏమిటన్న మాట? మనం అనంతం వైపు చేసే ప్రయాణంలో ఈ పాక్షిక మొత్తాలు 0 కీ 1 కీ మధ్య ఊగిసలాడుతున్నాయి తప్ప ఒక విలువ దగ్గరకి అభిసరించడం లేదు. కనుక “అనంతం వరకు” వెళ్లగలిగితే మొత్తం ఎంత? తుని తగవులా ఇటూ అటూ కాకుండా (1/2) అని ఒప్పేసుకుందాం (రామానుజన్ వెనకాతల దన్నుగా ఉన్నాడనే ధీమాతో). ఈ ఫలితం తర్వాత మెట్టులో వాడబోతున్నాం.
ఇప్పుడు S2 అనే మరొక శ్రేణిని తీసుకుందాం. S2 = 1 – 2 + 3 - 4 + 5 – 6 +.......
ఈ S2 కి మరొక S2 ని కలుపుదాం. ఈ కలపడం ఈ దిగువ చూపిన విధంగా, “పక్కకి జరిపి” కలుపుదాం. (రెండూ అనంత శ్రేణులే కనుక ఇలా పక్కకి జరిపి కలపడంలో ప్రమాదం లేదు.)
2 S2 = 1 – 2 + 3 - 4 + 5 – 6 +.......
+ 1 – 2 + 3 - 4 + 5 – 6 +.......
2 S2 = 1 – 1 + 1 - 1 + 1 – 1 +....... = (1/2)
ఆఖరి మెట్టులో కుడి పక్క వేసిన (1/2) మొదటి మెట్టులో వచ్చిన ఫలితమే!
కనుక 2S2 = (1/2)
లేదా S2 = 1/4
ఋజువుని పూర్తి చెయ్యడానికి S నుండి S2 ని ఈ దిగువ చూపిన విధంగా తీసివేద్దాం:
S – S2 = 1 + 2 + 3 + 4 + .....
- [1 – 2 + 3 - 4 + 5 - ....]
= 0 + 4 + 0 + 8 + 0 + 12 .......
1 నుండి 1 తీసెస్తే 0 వచ్చింది. 2 నుండి – 2 తీసెస్తే +4 వచ్చింది, అలా ఉంటుందీ లెక్క.
ఇప్పుడు 4 ని కుండలీకరణాల బయటకి లాగేసి, దీనిని ఈ దిగువ విధంగా రాయవచ్చు: S – S2 = 4 (1 + 2 + 3 +....) = 4S
అనగా 3S = - S2.
పైన చేసిన లెక్క ప్రకారం S2 = ¼ కనుక S = - (1/12)
అనగా 1 + 2 + 3 + 4 + ....= - (1/12)
ఇదంతా కిట్టించినట్లు కనబడుతోందా? ఈ ఫలితం నమ్మడానికి వీలుగా లేదు కదూ? ధన సంఖ్యలని అలా కలుపుకుంటూ పోతే మొత్తం ధన సంఖ్యే రావాలి. అలా జరగలేదు. పూర్ణాంకాలని అలా కలుపుకుంటూ పోతే ఫలితం పూర్ణాంకమే అవాలి. ఇక్కడ భిన్నాంకం వచ్చింది. అసలు ఈ అంకెలని అనంతం వరకు అలా కలుపుకుంటూ పోతే మొత్తం విలువ పాపం పెరిగినట్లు పెరిగి, పెరిగి, చివరికి “పేలిపోవాలి.” అలా జరగలేదు. కాని మనం చేసిన పద్ధతిలో ఎక్కడా లోపం లేదు.
ఇదే లెక్కని మరికొంచెం పకడ్బందీగా (అంటే కలన గణితం (calculus) ఉపయోగించి) చూపెడతాను. ఈ ఋజువు మహా మేధావి ఆయిలర్ (Euler) చలవ. దీనిని అర్థం చేసుకుందుకి అవకలనం (differentiation) తో కొద్ది పరిచయం ఉంటే చాలు. ఇక్కడ 10.3.2 లో చూపిస్తున్న ప్రత్యామ్నాయ ఋజువు చదవకుండా పరవాలేదు.
10.3.2 జీటా ప్రమేయం విలువ: దిట్టమైన పద్ధతి
ఈ దిగువ చూపిన అనంత గుణోత్తర శ్రేణి (geometric series) మొత్తంతో మొదలు పెడదాం. ఈ ఫలితం లెక్కలు నేర్చిన ప్రతి విద్యార్థికీ తెలిసే ఉంటుంది. ఈ విషయం ఇంతకు పూర్వమే తెలిసి ఉండకపోతే మరేమీ ప్రమాదం లేదు; నేను చెబుతూన్నది నిజమే అని నమ్మి ముందుకి కదలండి.
1 + x + x2 + x3 + ...... = 1/(1- x ), |x| < 1 ఇక్కడ x విలువ 1 కంటె తక్కువ అయి ఉన్నంత సేపూ ఈ ఫలితం పని చేస్తుంది.
ఇప్పుడు అవకలనం (differentiate) చెయ్యడానికి వాడే సూత్రాన్ని ఇక్కడ చెబుతాను. ఇది ఈ రోజుల్లో ఉన్నత పాఠశాలలోనే చెబుతున్నారు.
d/dx (xn) = n x(n-1)
ఇప్పుడు పైన చూపిన అనంత శ్రేణిలోని అంశాలని, ఒకటీ, ఒకటీ అవకలించుకుంటూ పోదాం. ముందుగా స్థిరాంకమైన 1 ని అవకలించగా 0 వస్తుంది. x అన్నా x1 అన్నా ఒక్కటే కనుక అవకలన సూత్రాన్ని బట్టి x ని అవకలిస్తే 1 వస్తుంది. అదే విధంగా x2 ని అవకలిస్తే 2x వస్తుంది. (ఈ రకం గణితం లెక్కలతో ఏ మాత్రం పరిచయం ఉన్నా తెలుస్తుంది.) ఈ అవకలన సూత్రాన్ని కుడి పక్క కూడా ప్రయోగించాలి. అది ప్రయోగించే విధానం మీద ఒక కప్పదాటు వేస్తే అవకలనం పూర్తి అయిన తరువాత మనకి మిగిలిన సమీకరణం ఈ దిగువ చూపిన విధంగా ఉంటుంది.
0 + 1 + 2 x + 3 x2 + ....= 1/((1 - x )(1-x ))
ఇప్పుడు x = -1 అనుకుంటే
1 – 2 + 3 – 4 + 5 - +.... = ¼
ఈ ఫలితం తరువాత ఉపయోగపడుతుంది. ప్రస్తుతానికి పక్కన పెడదాం.
ఇప్పుడు “జీటా ఫంక్షన్” (zeta function) న్ని రంగంలోకి దింపుదాం:
ζ(s) = 1-s + 2-s + 3-s + 4-s + ...... దీనిని రెండు పక్కలా (2-s) తో గుణిస్తే (ఎందుకని అడగకండి. ఇటువంటి గారడీలు కల్పన తలంలో చేసే గణితంలో సాధారణమే. Analytic continuation, holomorphic functions వంటి పెద్ద పెద్ద మాటలు వాడకుండా అసలు కారణం టూకీగా చెప్పటం కష్టం.)
(2-s) ζ(s) = (2-s) (1-s + 2-s + 3-s + 4-s + ......)
కుడిపక్క కుండలీకరణాలని విప్పితే, అంటే, చూపించిన గుణకారాన్ని చేసెస్తే, (ఈ అంచె చెయ్యడానికి బీజగణితం తో కొద్దిగా పరిచయం ఉండాలి)
(2-s) ζ(s) = 2-s + 4-s + 6-s + 8-s .....
ఇప్పుడు పై సమీకరణాన్ని 2 చేత మళ్లా గుణించి, వచ్చిన లబ్దాన్ని (s) నుండి తీసేద్దాం. అందరికీ సుబోధకంగా ఉండడానికి ఈ పనిని రెండు అంచెలలో చేద్దాం: ముందు (s) ని ఈ దిగువ విధంగా రాసి, దాని కింద (2-s) (s) ని తిరగ రాద్దాం.
ζ(s) = 1-s + 2-s + 3-s + 4-s + ......
= 1 + 2-s + 3-s + 4-s + ......
2 (2-s) ζ(s) = 2 {2-s + 4-s + 6-s + 8-s ..... }
ఇప్పుడు మొదటి సమీకరణం నుండి రెండవ సమీకరణాన్ని తీసివేద్దాం.
(1 - 2 (2-s) ζ(s)) = 1 + 2-s + 3-s + 4-s + ......
- 2 {2-s + 4-s + 6-s + 8-s ..... }
ఇది పైకి చూడ్డానికి గాభరాగా కనిపిస్తూన్నా ఇక్కడ గణితపరంగా చేసిన బ్రహ్మ విద్య ఏమీ లేదు. ముందు, కుడి పక్క 1 వేసేం. తరువాత పైవరుసలో 2-s ఉంది, కింది వరుసలో 2-s రెండు సార్లు రుణ సంజ్ఞతో ఉంది. రెండూ కలపగా మిగిలేది ఒక రుణ సంజ్ఞతో ఉన్న 2-s. తరువాత పైవరుసలో ఉన్న 3-s ని యథాతథంగా దింపేసుకుందాం. ఇలా చేసుకుంటూ పోతే మిగిలేది -
(1 - 2 (2-s) ζ(s)) = 1 - 2-s + 3-s - 4-s + ......
ఇప్పుడు s = -1 అయితే దీని విలువ ఎంత అవుతుందో లెక్క కడదాం.
కుడిపక్క:
1 – 2+1 + 3 +1 - 4+1 + ..... = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 ......
ఎడం పక్క:
ఇప్పుడు s = -1 అయినప్పుడు 2-s కాస్తా 2+1 అవుతుంది. కనుక ఎడంపక్క (1- (2) (2)) ζ(s) = - 3 ζ(s). ఇక ఎడం పక్క చెయ్యవలసినదల్లా s = -1 అయినప్పుడు ζ(s) విలువ కూడా కట్టడమే.
ζ(s = -1) = 1 + 2+1 + 3+1 + 4+1 + ......
= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ........
- 3 ζ(s = -1) = - 3 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ........)
ఎడమ కుడి చేర్చితే:
- 3 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ....) = 1 – 2 + 3 – 4 + ...... కాని ఈ కుడి పక్క ఉన్న అనంత శ్రేణి విలువ (1/4) అని మొట్టమొదటే లెక్కగట్టేం. ఆ విలువ ఉపయోగించి,
- 3 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ....) = ¼
లేదా
(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ....) = - 1/12
ఇందాకటి ఫలితమే వచ్చింది. అందరికీ అందుబాటులో లేని కొద్దిపాటి క్లిష్టత ఉన్న గణితం వాడేం. కనుక ఇప్పుడు ఈ ఫలితం నమ్మడానికి వీలవుతుందా?
మొదటి భాగంలో ఇచ్చిన ఋజువులో లోపం ఏదీ లేదు కానీ ఏదో లోపం ఉందేమో అని అనిపిస్తుంది. ఈ రెండవ భాగంలో ఇచ్చిన ఋజువు మరికొంచెం పకడ్బందీగా ఉన్నట్లు కనిపిస్తుంది. ఏ ఋజువు నచ్చితే దానినే తీసుకోండి. గణితంలో ప్రవేశం అత్యల్పంగా ఉన్న వారికి మొదటి ఋజువు చాలు. ఏదో వానాకాలపు “కేలుక్యులస్” వరకు చదువుకున్నవారికి ఈ రెండవ ఋజువు పని చేస్తుంది.
ఇంత ప్రయాస పడి ఎందుకు ఈ ఋజువులు ఇక్కడ చూపించేను? ఒకే ఒక్క బిందువు, అనగా s = 1 దగ్గర, ఈ ప్రమేయం అనంతం అవుతుంది తప్ప మిగిలిన జంట తలంలో మరెక్కడైనా సరే ζ(s) విలువ నిర్ధారించడం సుసాధ్యమే అని ఋజువు చెయ్యడానికి. ఈ లక్షణం ఉన్న ప్రమేయాలని ఇంగ్లీషులో “హోలొమోర్ఫిక్” ప్రమేయాలు అంటారు; ‘హోలో’ ని సమస్త, అఖిల, సర్వ అనిన్నీ, ‘మోర్ఫ్’ ని రూప, స్వరూప, అనిన్నీ తెలిగించవచ్చు. ఇంతకంటె వివరాలు చెప్పి విసిగించను. 10.4 రీమాన్ ప్రమేయం యొక్క శూన్యస్థానాలు (Zeros of Riemann Function)
మిలియను డాలర్లు గెలుచుకోడానికి మీ ఋజువు బాణసంచాలతో మిలమిల మెరవాలంటే “చంద్రశాఖాన్యాయం” లా దారి చూపెడతాను, కాని ఆ దూరం మీతో ప్రయాణించే ఓపిక, స్థోమత నాలో లేవు. కాసుకోండి!
ఏదైనా ఒక ప్రమేయాన్ని, f(x) ని, ఇచ్చి దాని శూన్యస్థానాలు లేదా శూన్యాలు (zeros) కనుక్కోమంటే మనం చెయ్యవలసిందల్లా f(x) = 0 అని రాసి, x ఏ విలువ తీసుకుంటే ఈ సమీకరణం చెల్లుతుందో లెక్క కట్టాలి. ఆ x విలువలు ఆ సమీకరణానికి శూన్యస్థానాలు అవుతాయి. ఉదాహరణకి f(x) = x – 2 అయితే x = 2 అయినప్పుడు f(x) = 0 చెల్లుతుంది. కనుక x = 2 అనేది f(x) = x – 2 = 0 అనే ప్రమేయానికి శూన్యస్థానం అవుతుంది. మరొక ఉదాహరణగా, f(x) = x3 + 2x2 -13 x + 10 అయితే x = 1 అయినా, x = 2 అయినా, x = -5 అయినా f(x) = 0 చెల్లుతుంది. కనుక x = 1, x = 2, x = -5 అనేవి f(x) = x3 + 2x2 -13 x + 10 = 0 అనే ప్రమేయానికి శూన్యస్థానాలు అవుతాయి. ఈ శూన్యస్థానాలనే శూన్యాలు అనిన్నీ మూలాలు (roots) అనిన్నీ కూడ అంటారు.
ఇప్పుడు మనకి కావలసినది రీమాన్ నిర్వచించిన జీటా ప్రమేయం యొక్క శూన్యస్థానాలు. జీటా ప్రమేయానికి s = - 2, - 4, - 6, - 8,..... వగైరాలన్నీ శూన్యస్థానాలని మనం ఓపికగా లెక్క కట్టి నిర్ణయించవచ్చు. అనగా, ζ(s = - 2) = ζ(s = - 4) = ζ(s = - 6) = … = 0. ఇవి మన ప్రస్తుత అవసరాలకి పనికిరావు. కనుక వీటికి “పనికిమాలిన” (trivial) శూన్యస్థానాలు అని పేరు పెట్టి పక్కన పెడదాం. మిగిలినవన్నీ “పనికొచ్చే” శూన్యస్థానాలు. మనకి తెలుసున్నంతవరకు, ఈ పనికొచ్చే శూన్యస్థానాలు అన్నీ s = ½ + b i అనే రేఖ మీదనే ఉన్నాయి. ఈ రేఖ జంట తలంలో కల్పన అక్షానికి సమాంతరంగా, నిజ రేఖ మీద 1/2 దూరంలో గీసిన గీత (బొమ్మ 10.5 చూడండి). రీమాన్ వ్యక్తపరచిన శిష్టాభిప్రాయం ఏమిటంటే “పనికొచ్చే” శూన్యస్థానాలన్నీ s = ½ + bi అనే ఈ కీలక
రేఖ (critical line) మీద తప్ప మరెక్కడా ఉండవని. కీలక బద్దీ (critical strip) మీద ఉంటే సరిపోదు; కీలక రేఖ మీద తప్ప మరెక్కడా ఉండకూడదు. ఈ విషయం ఋజువు చెయ్యాలి.
10.5 ఇక్కడ రామానుజన్ కి ఏదైనా పాత్ర ఉందా?
రీమాన్ వ్యక్తపరచిన శిష్టాభిప్రాయనికి ఒక రకమైన ఋజువుని 1914 లో హార్డీ కనుక్కున్నారు. (రామానుజన్ హార్డీకి రాసిన మొదటి ఉత్తరం 1913 లో అని మరచిపోకండి.) హార్డీ పైన చెప్పిన s = ½ + bi అనే కీలక రేఖ మీద ζ(s) కి అనంతమైనన్ని శూన్యస్థానాలు ఉన్నాయని ఋజువు చేసేరు కాని s = 0 + bi నుండి s = 1 + bi వరకు ఉన్న కీలక బద్దీ (critical strip) లో మరే శూన్యస్థానాలు లేవని ఋజువు చెయ్యలేదు. కనుక హార్డీ కనుక్కున్న ఋజువు అసంపూర్ణంగా ఉండిపోయింది.
రామానుజన్ తో పరిచయం అయిన తరువాత హార్డీ తెలుసుకున్నది ఏమిటంటే రీమాన్ సాధించిన ఫలితాలు దరిదాపుగా అన్నీ రామానుజన్ నోటు పుస్తకాలలో ఉండడం. రామానుజన్ గురుముఖంగా ఏదీ నేర్చుకోలేదు. రామానుజన్ కి అంత వరకు గణిత ప్రపంచంలో ఏమిటి జరిగిందో తెలియదు. అయినా సరే రీమాన్ కి తెలిసిన విషయాలన్నీ రామానుజన్ కి తెలిసే ఉండాలి. కనుక రీమాన్ ప్రతిపాదించిన సమస్య పరిష్కారానికి కావలసిన స్థోమత రామానుజన్ దగ్గర ఉండే ఉండాలి. అప్పటికే ఈ సమస్యతో కుస్తీ పడుతున్న హార్డీ ఈ విషయాన్ని రామానుజన్ తో ముచ్చటించే ఉండాలి. రామానుజన్ కూడ ఈ సమస్య పరిష్కరించడానికి ప్రయత్నం చేసేరేమో. కాని ఒకటి మాత్రం నిజం. రీమాన్ సమస్యని అర్ధంతరంగా పరిష్కరించిన తరువాత హార్డీ మనోవ్యాకులతకి లోనై మాత్రలు మింగి ఆత్మహత్య చేసుకుందుకి ప్రయత్నం చేసేరు. రామానుజన్ కూడ మనోవ్యాకులతకి లోనై రైలుబండి కింద పడి చచ్చిపోడానికి ప్రయత్నం చేసేరు. అదృష్టవశాత్తు ఇంజనీరు బండికి మారకట్టు వేసి ఆపగలిగేడు కనుక రామానుజన్ గండం నుండి బయట పడ్డారు. ఈ రెండూ కేవలం కాకతాళీయం కావచ్చు, ఈ రెండు సంఘటనలకి రీమాన్ సమస్యని పరిష్కరించడానికి వీరిరువురు చేసిన ప్రయత్నాలకి మధ్య ఉన్నది బాదరాయణ సంబంధమే కావచ్చు. కాని ఈ సమస్యే వీరి మతిని చలింపజేసిందని అభిజ్ఞ వర్గాల్లో అనుకున్న వాళ్లు లేకపోలేదు.
ఆధారాలు
1. http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_summation
3. http://www.claymath.org/millennium/Rules_etc/ 4. du Sautoy, Marcus, The Music of the Primes: Searching to Solve the Greatest Mystery in Mathematics. HarperCollins. 2003. ISBN 0-066-21070-4.
5. B. Riemann, “Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse,” (“On the Number of Prime Numbers Less Than a Given Quantity”), Monatsberichte der Berliner Akademie (Monthly Review of the Berlin Academy), November 1859
6. Ramanujan wrote in his second letter to G. H. Hardy, dated 27 February 1913: "Dear Sir, I am very much gratified on perusing your letter of the 8th February 1913. I was expecting a reply from you similar to the one which a Mathematics Professor at London wrote asking me to study carefully Bromwich's Infinite Series and not fall into the pitfalls of divergent series. … I told him that the sum of an infinite number of terms of the series: 1 + 2 + 3 + 4 + · · · = −1/12 under my theory. If I tell you this you will at once point out to me the lunatic asylum as my goal. I dilate on this simply to convince you that you will not be able to follow my methods of proof if I indicate the lines on which I proceed in a single letter. …"
7. ఎరికలపూడి వాసుదేవరావు, “ఆచార్య సుబ్బరామన్ మీనాక్షీసుందరం,” ఈమాట అంతర్జాల పత్రిక, నవంబరు 2013
8. వేమూరి వేంకటేశ్వరరావు, “రీమాన్ శిష్టాభిప్రాయం,” ఈమాట అంతర్జాల పత్రిక, సెప్టెంబరు 2015