4. అనంతాలు (Infinities)
నిజ సంఖ్యలన్నింటిని ఒక సరళ రేఖ మీద బిందువులుగా ఊహించుకోవచ్చని తెలుసుకున్నాం కదా! అనగా, ఒక సరళరేఖ మీద, ఒక వరుస క్రమంలో అమర్చగలిగిన సంఖ్యలని నిజ సంఖ్యలు అని నిర్వచించవచ్చు. అప్పుడు ఈ సరళరేఖని ‘నిజ రేఖ’ (real line) అని పిలుస్తారు. ఈ నిజ రేఖ స్వరూప స్వభావాలు మరొక సారి పునశ్చరణ చేసుకుందాం. ఒక కాగితం మీద తిన్నని గీత గీసి, దాని మధ్యలో ఒక చుక్క పెట్టి, దానిని ‘సున్న’ అని పిలవండి. ఆ సున్నకి, కుడి పక్కన, ఒక అంగుళం దూరంలో మరొక చుక్క పెట్టి దానిని ‘ఒకటి’ అని పిలవండి. అలా నిర్విరామంగా అంగుళమేసి వ్యవధులలో 2, 3, 4,…. అనుకుంటూ చుక్కలు పెట్టండి. ఇదే విధంగా సున్నకి ఎడమ పక్కన -1, -2, -3, అనుకుంటూ వెళ్లండి. ఇప్పుడు ఇదే రేఖ మీద భిన్నాలన్నిటినీ (నిష్ప సంఖ్యలని) కూడ వేసి గుర్తించవచ్చు కాని, వీటన్నిటికీ కాగితం మీద చూపటం కష్టం కనుక మచ్చుకి బొమ్మలో కొన్నే చూపిస్తారు. ఇదే రేఖ మీద అనిష్ప సంఖ్యలు ఎక్కడ ఉంటాయో ఉరమరగా చూపించవచ్చు. ఇక్కడ గమనించవలసినది ఏమిటంటే గీత మీద నిజ సంఖ్యలన్నిటికీ స్థావరం ఉంది. దీనినే తిరకాసుగా చెప్పాలంటే నిజ రేఖ మీద ఉండే బిందువులన్నీ ఏదో ఒక నిజ సంఖ్యకి స్థావరం.
ఈ నిజ రేఖ మీద ఉన్న అనంతమైనన్ని (infinite) బిందువులలో అతి కొద్ది బిందువులే సహజ సంఖ్యలకి స్థావరాలు. వాటినే మనం “1, 2, 3,…,” అని పిలుస్తున్నాం. ఇక్కడ 3 తరువాత మూడు చుక్కలు పెట్టడంలో అర్థం ఏమిటంటే ఈ సహజ సంఖ్యలు అవిరామంగా అలా వస్తూనే ఉంటాయని చెప్పడానికి! అంటే, ఆ గీత మీద ఎంత దూరం ప్రయాణం చేసినా సహజ సంఖ్యలు, అంతు లేకుండా, అలా వస్తూనే ఉంటాయి. ఈ "అంతు లేని తనం" అనే భావాన్ని అనంతం (infinity) అంటారు. అంటే, అనంతం అనేది కేవలం ఒక భావం. అది 1, 2, 3, లాంటి అంకె కాదు. అనంతం అంకె కాదు కనుక దానితో కూడికలు, తీసివేతలు, గుణకారాలు, భాగారాలు చెయ్యలేము. గణితంలో శూన్యం అన్న భావానికి '0' అనే గుర్తు ఉన్నట్లే, ఈ 'అనంతం' అనే భావానికి ∞(పదుక్కోబెట్టిన 8) అనే గుర్తుని వాడతారు. కాని 0 (సున్న) కీ ∞ (అనంతానికి) ఒక ముఖ్యమైన తేడా ఉంది. అన్ని అంకెలలాంటిదే “సున్న” అనే అంకె; దానితో కూడికలు, తీసివేతలు, గుణకారాలు చెయ్యవచ్చు. సున్నతో భాగారం
