అంకములు
దశకోట్ల స్థానము వరకును కూడి పెట్టును. వ్యవకలనము, గుణకారము, భాగహారము, వర్గమూలము మొదలగు క్రియ లన్నిటిని మానవుడు చేయగల కాలముకంటే తక్కువ కాలములో చేసియిచ్చును. ఈ యంత్రములవల్ల మానవునికి మానసిక పరిశ్రమ తగ్గినదనియే చెప్పవచ్చును.
వం. ల.
అంకములు - ఉన్నతమగు అంకగణితము నే అంక శాస్త్రమని నవీనులు నిర్వచింతురు. పూర్ణసంఖ్యల సంబంధ
బాంధవ్య శోధనమే అంకశాస్త్ర మనికూడ నిర్వచింప వచ్చును. పూర్ణసంఖ్యలు ధన, ఋణ సంఖ్యలుగ వచ్చును.
"అంకశాస్త్రమున అతి సుందర సత్యములు కలవు. అవి విడివిడిగానుండునవిగాక ఒక దానికొకటి సన్నిహితములు”
అని గౌను అను పాశ్చాత్య గణిత శాస్త్రజ్ఞుడు చెప్పిన మాటలు సత్యము.
అంకశాస్త్రమును గూర్చి తెలిసికొనుటకు పూర్వము సంఖ్యను గురించి చర్చించుట అవసరము. సాధారణముగా 'సంఖ్య' అను పదము పూర్ణ సంఖ్యలకును, భిన్నములకును, కరణీయాంక ములకును (Irrational numbers) వాడబడు చున్నది. అయినను, సంఖ్యా నిర్వచనము నిగూఢము. సంఖ్యను నిర్వచించుటకు పూర్వము సముదాయమును (Class) నిర్వచింప వలయును. కాంటర్శా స్త్రజ్ఞుని ప్రకారము 'మన సహజ జ్ఞానముచే నిర్దుష్టముగా ప్రత్యేక పరచబడి ఒకే సమూహమున చేర్చబడిన గుంపునకు సముదాయమని పేరు'. బెర్ట్రాండు రసెలు యొక్క సంఖ్యా నిర్వచనము ఈ విధముగ నున్నది. 'ఒక సముదాయము యొక్క సంఖ్య, ఆ సముదాయమునకు అనురూపమగు అన్ని సముదాయముల సముదాయము.” ఈనిర్వచనమును వ్యాఖ్యానించుట కష్టము. దీని భావమును ఎవరికివారే గ్రహింప యత్నించుట ఉచితము.
అంకశాస్త్రమున సంఖ్యను పూర్ణ సంఖ్య అను అర్థములో వాడుదురు. పూర్ణ సంఖ్యలను ప్రధాన సంఖ్య లనియు (Prime numbers), మి శ్రమ సంఖ్యలనియు (Composite numbers) రెండు విధములుగా భాగింపనగును. ప్రతి సంఖ్యకు 'ఒకటి' అను సంఖ్య కారణాంక మగును. అందుచే 'ఒకటి' అను సంఖ్యను ప్రధాన సంఖ్యగా నెంతురు. ఇదిగాక, ప్రతి సంఖ్యయు తనకు తాను కారణాంక మగును. ఈ రెండును గాక, ఇతర కారణాంకము లేని సంఖ్యను ప్రధాన సంఖ్య అంది.రు. రెండు సంఖ్యల 'గరిష్ఠ సామాన్య భాజకము' (G. C. F. ) ఒకటి అయినచో ఆ సంఖ్యలు ఒకదాని కొకటి ప్రధానములని అందుము.
ఫర్మా సిద్ధాంతము (Fermar : 1601–1665): 'P ప్రధాన సంఖ్యయై, N మరియు P ఒకదానికొకటి ప్రధాన సంఖ్య లైనచో (NP-11) ను P నిశ్శేషముగా భాగించును'. ఈ సిద్ధాంత ఫలితమును సర్వసమత్వమున (Congruence) ఈ క్రింది విధమున వ్రాయవచ్చును.
- NP - 1_1=0 (mod P).
ఇపుడు సర్వ సమత్వములను గూర్చి కొంత వివరింపబడును. a=b (mod c) అనగా, 4 అను సంఖ్యను, అను సంఖ్యను, C అను సంఖ్యచే భాగించిన వచ్చు శేషములు సమములని అర్థము.
ఫర్మాసిద్ధాంతమునకు ఉదాహరణము: 5 ప్రధానసంఖ్య గావున 5, 3 ఒక దాని కొకటి ప్రధానములు గాబట్టి,
- 36-1 - 1= 80= 0 (mod 5).
- ఇట్లే 58-1-1=24=0(mod 3).
ఫర్మాసిద్ధాంతసాధారణీకరణమును (Generalisation) ఆయిలరు (1707 – 1783) 1760 లో ఈ క్రింది విధముగా ప్రకటించెను:-
eum, M అను రెండు సంఖ్యలు ఒక దాని కొకటి ప్రధా SSN? 55 70 () -1=0(mod m)'. నములైనచో
ఇచట (m) అనగా m కంటే చిన్నవియు, కు ప్రధానములును అగు ధనాంకముల సంఖ్యయని తెలియ నగును. P ప్రధాన సంఖ్యయైన 9(P)=P-1 అగును.
ఉదా : m= 12 అయిన ఆ (M) = 4. ఎందుకన 1,5,7,11 మాత్రమే పై ధర్మమును కలిగియున్నవి. అనగా 12 కంటె చిన్నవియు, 12 కు ప్రధానములును అగు అంక ములు నాలుగు మాత్రమే. కావున, 50(12) -1=5'-1
- 624. ఇది 12 చే నిశ్శేషముగా విభాజ్యమనుట
స్పష్టము.
విల్స (Wilson 1741-1798) సిద్ధాంతము అంక శాస్త్రమున మరొక ముఖ్యమగు సిద్ధాంతము. దానిని ఈ క్రింది విధమున వివరించవచ్చును:-
