రామానుజన్ నుండి ఇటూ, అటూ/8. ప్రధాన సంఖ్యలు

by వేమూరి వేంకటేశ్వరరావు

8. ప్రధాన సంఖ్యలు

బుద్ధుడి రోజుల నుండి సా. శ. 300 వరకు ఉన్న కాలం నాటికే పైథోగరోస్ సంబంధీకులైన గ్రీసు దేశస్తులకి అంకెలలో ఏదో మహత్తరమైన శక్తి ఉందనే గట్టి నమ్మకం ఒకటి ఉండేది. ఈ నమ్మకమే నేటికీ మనకి ‘నూమరాలజీ’ రూపంలో కనిపిస్తోంది. అంకెలలో ఏదో నిక్షిప్తమైన శక్తి ఉందనే నమ్మకానికి కారణం కొన్ని అంకెలలో వారికి కనిపించిన వైపరీత్యమైన లక్షణాలు కావచ్చు.

ఉదాహరణకి యవనులకి (గ్రీకు దేశస్థులకి) ప్రధాన సంఖ్యలు (prime numbers) గురించి కొంత తెలుసు. ప్రధాన సంఖ్యలు అంటే ఏమిటి? ఏదైనా n అనే ఒక సంఖ్య ప్రధాన సంఖ్య అవాలంటే దానికి రెండే రెండు కారణాంకాలు (factors) ఉండాలి: అవి 1, n అయి ఉండాలి. అప్పుడు ఆ సంఖ్యని ప్రధాన సంఖ్య అంటారు. ఉదాహరణకి 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 మొదలైనవి ప్రధాన సంఖ్యలు. (ఈ నిర్వచనం ప్రకారం 1 ప్రధాన సంఖ్యల జాబితాలో ఇమడదు. ఇప్పటికీ 1 ని ప్రధాన సంఖ్యగా పరిగణించిన సందర్భాలు కొన్ని పాత పుస్తకాలలో కనిపిస్తూ ఉంటాయి. తస్మాత్ జాగ్రత్త!)

8.1 ఇరటోస్తనీస్ జల్లెడ

ప్రాచీన కాలంలో, ఈజిప్టు లోని అలెగ్జాండ్రియా నగరంలో, జగద్విఖ్యాతి చెందిన బృహత్ గ్రంథాలయం ఒకటి ఉండేది. ఇరటోస్తనీస్ (Eratosthenes, క్రీ. పూ. 276-194) అనే ఆసామీ ఈ గ్రంథాలయానికి అధిపతిగా ఉండేవాడు. సాధారణ శకం ఆరంభం కాని ముందు రోజుల్లో, ప్రపంచంలో, వేళ్లమీద లెక్కించదగ్గ మహా మేధావులలో ఈయనని ఒకరుగా లెక్కించడం పరిపాటిగా ఉండేది. ఆ రోజులలోనే భూమి గుండ్రంగా ఉందని లెక్క వేసి చెప్పటమే కాకుండా, భూమి యొక్క వ్యాసార్ధం ఎంతుంటుందో అంచనా వేసి చెప్పేడీయన. ఈ మేధావి ప్రధాన సంఖ్యల మీద కూడ పరిశోధనలు చేసి “ఇరటోస్తనీస్ జల్లెడ” అనే ఊహాత్మకమైన పరికరాన్ని ఒకదానిని మనకి ఒదిలిపెట్టి మరీ వెళ్లిపోయాడు. ఈ జల్లెడలో సంఖ్యలన్నిటిని వేసి “జల్లిస్తే” ప్రధాన సంఖ్యలన్నీ జల్లెడలో ఉండిపోతాయి, మిగిలినవి అన్నీ కిందకి దిగిపోతాయి. ఈ ఇరటోస్తనీస్ జల్లెడ ఎలా పని చేస్తుందో ఇప్పుడు చూద్దాం. ముందు సహజ సంఖ్యలన్నిటినీ, ఈ దిగువ చూపిన విధంగా (1 ని మినహాయించి) బారులు తీర్చి రాసుకోవాలి.

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20,

21,…….

41,.....

నిర్వచనం ప్రకారం 2 ఎల్లప్పుడూ ప్రధాన సంఖ్యే. దీని చుట్టూ ఒక సున్న చుడదాం. ఇప్పుడు 2 తరువాత నిర్విరామంగా వచ్చే ప్రతీ రెండవ సంఖ్యనీ (అంటే, 4, 6, 8, 10….వగైరాలు) కొట్టివెయ్యండి. (చెరిపెయ్య వద్దు; ఒక గీటు గీసి కొట్టివెయ్యండి.) ఇప్పుడు పైన చూపిన వరుసలో కొట్టివెయ్యకుండా మిగిలిన సంఖ్యలు ఈ దిగువ చూపిన విధంగా ఉంటాయి.

2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25,….

ఇప్పుడు ఈ కొత్త వరసలో 2 తరువాత కొట్టివేయబడకుండా వచ్చే మొదటి సంఖ్య, అనగా 3, చుట్టూ ఒక సున్నా చుడదాం. ఈ దశలో ఇది లంగరు. ఇప్పుడు 3 తరువాత నిర్విరామంగా వచ్చే ప్రతీ మూడవ సంఖ్యలనీ (అంటే, 6, 9, 12,15,…. వగైరాలని) కొట్టివెయ్యండి. గతంలో ఒక సారి కొట్టేసిన సంఖ్యలని మళ్లా కొట్టేయవలసి వచ్చినా మరేమీ పరవా లేదు. ఇప్పుడు పైన చూపిన వరుసలో మిగిలిన సంఖ్యలు ఈ దిగువ చూపిన విధంగా ఉంటాయి.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25,

ఇలా కొట్టేసుకుంటూ పోతే, కొంతసేపు పోయిన తరువాత జల్లెడలో ప్రధాన సంఖ్యలు మిగులుతాయి. టూకీగా ఎరతోస్తనీస్ చెప్పిన ఉపాయం ఇది. పైన చూపిన వరుసలో చివరనున్న 25 ప్రధాన సంఖ్య కాదు. కాని 5 ని లంగరుగా చేసి మరొక సారి జల్లిస్తే 25 కిందకి దిగజారిపోతుంది. ఈ జల్లెడ రూపు రేఖలని బొమ్మ 8.1 లో చూపెడుతున్నాను.

బొమ్మ 8.1 ఇరటోస్తనీస్ జల్లెడ పని చేసే తీరు

క్రీ. పూ. 300 సంవత్సరంలో యూకిలిడ్ (Euclid) రేఖాగణిత సూత్రావళి (Elements of Geometry లేదా క్లుప్తంగా Elements) అనే పేరుతో జగద్విఖ్యాతమైన పుస్తకం ప్రచురించేనాటికే ప్రధాన సంఖ్యలకి చెందిన సిద్ధాంతాలెన్నో ప్రమాణాత్మకంగా ప్రాచుర్యం పొంది ఉన్నాయి. ఉదాహరణకి ప్రధాన సంఖ్యలు అనంతంగా ఉన్నాయని యూకిలిడ్ తన సూత్రావళి తొమ్మిదవ అధ్యాయంలో ఋజువు చేసి చూపించేరు. అంటే ప్రధాన సంఖ్యల జాబితాని తయారు చేద్దామని సంసిద్ధమైతే అది తెమిలే పని కాదు; హనుమంతుడి తోకలా ఆ జాబితా పెరుగుతూనే ఉంటుంది. యూకిలిడ్ తన పుస్తకంలో మరొక విషయం ఋజువు చేసేరు. ఏ సంఖ్యనైనా సరే కొన్ని ప్రధాన సంఖ్యల లబ్దంగా, ఒక ఏకైక (unique) పద్ధతిలో - వరుస క్రమంలో మార్పులని మినహాయించి - రాయవచ్చని ఆయన ఋజువు చేసేరు. దీనినే అంకగణిత ప్రాథమిక సిద్ధాంతం (The Fundamental Theorem of Arithmetic) అంటారు. ఉదాహరణకి:

2 = 2 x 1

8 = 2 x 2 x 2

21 = 3 x 7

ఏదో ముత్యం మూడు ఉదాహరణలు చూపించేసి అదే సిద్ధాంతం అంటే శాస్త్రం ఒప్పుకోదు. ఉదాహరణకి 1001 ని పైన చూపిన విధంగా రాయడానికి ప్రయత్నించి చూద్దాం:

1001 = 7 x 143 = 11 x 91

ఇక్కడ ఆదిలోనే రెండు హంసపాదులు వచ్చేయి. మొదటి అభ్యంతరం ఏమిటంటే 1001 ని ఏకైకంగా కాకుండా రెండు విధాలుగా రాయడం జరిగింది. రెండో అభ్యంతరం ఏమిటంటే 143 న్నూ 91 న్నూ ప్రధాన సంఖ్యలలా అనిపించినా, నిజానికి అవి ప్రధాన సంఖ్యలు కావు; ఎందుకంటే,

143 = 11 x 13

91 = 7 x 13

వీటిని ఉపయోగించి 1001 కి కారణాంకాలని తిరగ రాద్దాం:

1001 = 7 x 11 x 13 = 11 x 7 x 13 కనుక 1001 ని మూడు ఏకైక ప్రాధమిక సంఖ్యల లబ్దాలుగా రాయగలిగేం. కనుక మన “ఏకైక’ సిద్ధాంతానికి భంగం రాలేదు. ఈ చిన్న ఉదాహరణ చెప్పే నీతి ఏమిటంటే మనం ప్రధాన సంఖ్యలతో చెంగనాలు వేస్తూన్నప్పుడూ, చెలగాటాలు చేస్తూనప్పుడు కొంచెం ఒంటి మీద తెలివితో ప్రవర్తించకపోతే తప్పులు ఒప్పులు లాగా, ఒప్పులు తప్పులు లాగా కనిపించి, పప్పులో కాలేసే ప్రమాదం ఉంటుంది.

ప్రధాన సంఖ్యల ఎడల అప్రమత్తత ఎంత ముఖ్యమో నొక్కి వక్కాణించడానికి మరొక ఉదాహరణ చూపిస్తాను.

ముందుగా 2 ప్రధాన సంఖ్య అని నిర్వచనం ప్రకారం ఒప్పేసుకుందాం. ఇప్పుడు ఈ దిగువ శ్రేణిని పరిశీలించండి:

        1 x 1 + 1 = 2, ప్రధాన సంఖ్య
        2 x 1 + 1 = 3, ప్రధాన సంఖ్య
        2 x 3 + 1 = 7, ప్రధాన సంఖ్య
        2 x 3 x 5 + 1 = 31, ప్రధాన సంఖ్య
        2 x 3 x 5 x 7 + 1 = 211, ప్రధాన సంఖ్య
        2 x 3 x 5 x 7 x 11 + 1 = 2,311, ప్రధాన సంఖ్య

ఈ ఆరు సందర్భాలలోను మనం గమనించినది ఏమిటి? ఒకటి తరువాత వరుసగా వచ్చే ప్రధాన సంఖ్యలని క్రమానుగతంగా రెండేసి, మూడేసి, నాలుగేసి,… చొప్పున తీసుకుని గుణించగా వచ్చిన లబ్దాలకి 1 కలపగా వచ్చిన సంఖ్య మరొక ప్రధాన సంఖ్యగా భాసిల్లింది. ఒక సారి కాదు, రెండు సార్లు కాదు, మూడు సార్లు కాదు, వరుసగా ఆరు సార్లు ఈ నియమానికి ఉల్లంఘన రాలేదు. కనుక ఈ నియమం సర్వకాల సర్వావస్థలోనూ పనిచేస్తుందనే నమ్మకం మనలో కలగక మానదు. ఆ సదుద్దేశంతో మనం మరొక్క మెట్టు ఎక్కి ఈ దిగువ చూపిన సమీకరణం రాసి: 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 + 1 = 30031, ప్రధాన సంఖ్యా!?

అని ఉద్ఘాటించాలని ఉబలాట పడతాం – అవతలి వాడు మన కంటె తెలివయిన ఘటం కానంతసేపూ. అవతలి వాడు కొంచెం ఎక్కాలు, లెక్కలు వచ్చినవాడైతే, వాడికి వచ్చిన నాలుగు గుణింతాలు వల్లె వేసుకుని, “అరెరె, 30031 ప్రధాన సంఖ్య ఎలా అవుతుంది, దానికి 59 న్నీ 509 న్నీ కారణాంకాలు కావా?” అని అడుగుతాడు. మనం జేబులోంచి కలనయంత్రం తీసి నాలిక కరుచుకుంటాం. మన నియమానికి పురిట్లోనే సంధి కొట్టింది!! తస్మాత్ జాగ్రత జాగ్రతః!

8.2 మెర్సెన్ సంఖ్యలు

యూరప్ లో నవజాగృతయుగం (‘రినసాన్స్’, renaissance) 500 సంవత్సరాల కిందట మొదలయింది. ఈ పునరుజ్జీవనానికి ఆరంభ దశలో మరిన్ మెర్సెన్ (1588-1648) అనే క్రైస్తవ ఫాదరీ ఒకాయన ఉండేవాడు. ఫ్రభువుకి జరపవలసిన కైంకర్యాలన్నీ జరిపిన తరువాత, తీరుబడి సమయాలలో ఈయన అంకెలతో ఆడుకునేవాడు. ఈ ఆటలలో ఒక శుభముహూర్తంలో ఒక చిరు విషయం కనిపెట్టేడు: 2 ని “కొన్ని” సార్లు వేసి, వాటిని గుణించగా వచ్చిన లబ్దంలోంచి 1 ని తీసివేస్తే మిగిలేది ప్రధాన సంఖ్య అని ఆయన ఉటంకించేడు. దీనినే గణిత పరిభాషలో ఈ దిగువ చూపినట్లు రాస్తారు:

2ⁿ – 1, n = 2, 3, 4, .... ప్రధాన సంఖ్య

అని రాస్తారు. ఇక్కడ n = 2 అయితే “2 ని 2 సార్లు వేసి గుణించి అందులోంచి 1 తీసెయ్యాలి” అని అర్థం. అప్పుడు ఫలితం 3 మిగులుతుంది. అదే విధంగా, n = 3 అయితే “2 ని 3 సార్లు వేసి గుణించి అందులోంచి 1 తీసెయ్యాలి” అని అర్థం. అప్పుడు ఫలితం 7 మిగులుతుంది. మెర్సెన్ ఫాదరీ గారు ఇలా n విలువ 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 అయిన సందర్భాలలో మాత్రమే తన సూత్రం పని చేస్తుందనిన్నీ, n విలువ 257 దాటిన తరువాత ఏమవుతుందో తనకి తెలియదనిన్నీ చెప్పి తనువు చాలించేరు. ఋజువులు ఏవీ ఇవ్వలేదు. (మన రామానుజన్ కూడ ఇలాగే ఋజువులు ఇవ్వకుండా ఎన్నో ఉటంకింపులు చేసేడు.) ఋజువులు ఇవ్వకపోవడానికి కారణం లేకపోలేదు. ఉదాహరణకి 2 ని 257 సార్లు వేసి గుణించడం అంటే మాటలు కాదు. అది ఊహకి అందనంత పెద్ద సంఖ్య. (చదరంగం బల్ల మీద వడ్ల గింజలు పెట్టడం కథ గుర్తు చేసుకోండి.) అంత పెద్ద సంఖ్యకి కారణాంకాలు ఉన్నాయో లేదో చెప్పడం అంటే తమాషా కాదు.

దరిమిలా సా. శ. 1876 లో లూకస్ అనే ఆయన (2¹²⁷ -1) నిజంగా ప్రధాన సంఖ్యే అని రుజువు చేసి చూపించేరు. అప్పటి నుండి మెర్సెన్ గౌరవార్ధం (2ⁿ -1) వంటి సంఖ్యలన్నిటిని మెర్సెన్ సంఖ్యలు అని పిలవడం మొదలు పెట్టేరు. రాత సౌలభ్యం కొరకు పైన చూపిన సంఖ్యని M-127 అని ఆయన పేరు మీదుగా రాయడం మొదలు పెట్టేరు.

జరగవలసిన పురస్కారాలు జరిగిపోయిన తరువాత మెర్సెన్ కట్టిన భవంతికి బీటలు పడడం మొదలయింది. ఉదాహరణకి (2ⁿ – 1) ప్రధాన సంఖ్య అవాలంటే ఘాతంలో ఉన్న n ప్రధాన సంఖ్య అయి తీరాలని తెలిసింది. అంతే కాకుండా ఘాతంలో ఉన్న సంఖ్య ప్రధాన సంఖ్య అయినప్పుడల్లా (2ⁿ – 1) ప్రధాన సంఖ్య అయి తీరాలని ఏమీ లేదని తేలగొట్టేరు. ఉదాహరణకి, ఒక కథనం ప్రకారం, సా. శ. 1903 లో ఫ్రేంక్ నెల్సన్ కోల్ అనే వ్యక్తీ సభలో నిలబడి గంట సేపు “నిశ్శబ్ద ఉపన్యాసం” ఇచ్చేరుట. అయన చేసిన పనల్లా నల్లబల్ల మీద సుద్దముక్కతో 2⁶⁷ - 1 = 193,707,721 x 761, 838, 257, 287 = 147,573,952,589,676,412,927 అని నిరూపించేరుట! అంటే అందరూ అనుకుంటున్నట్లు 2⁶⁷ - 1 మెర్సెన్ సంఖ్య కాదన్నమాట!

ఏదైతేనేమి. మెర్సెన్ పేరు చిరస్థాయిగా నిలచి పోయింది. వ్రతం చెడ్డా ఫలం దక్కడం అంటే ఇదే. సా. శ. 1952 నాటికి కంప్యూటర్ల సహాయంతో M-521, M-607, M-1279, M-2203, M-2281 ప్రధాన సంఖ్యలే అని ఋజువు చేసేసేరు. సా. శ. 1999 లో M-3,021,377 కూడ ప్రధాన సంఖ్యే అని ఋజువయిపోయింది. ఇందులో మొత్తం 909,526 అంకెలు ఉన్నాయిట! ఇది 37 వ మెర్సెన్ సంఖ్య. ఈ మధ్య, 2013 లో, M-57,885,161లో 17,45,170 అంకెలు ఉన్నాయని కనుక్కున్నారు. ఒక విధంగా చూస్తే ఇలా కంప్యూటర్లు ఉపయోగించి కనుక్కోవడం తేలికే అనిపిస్తుంది. సిద్ధాంతపరంగా ఋజువు చెయ్యడం కష్టం.

8.3 పరిపూర్ణ సంఖ్యలు లేదా సమగ్ర సంఖ్యలు

యవనులకి (గ్రీసు దేశస్థులకి) పరిపూర్ణ సంఖ్యలు (perfect numbers) అన్నా, కలుపుగోలు సంఖ్యలు (amicable numbers) అన్నా వల్లమాలిన అభిమానం. ముందుగా పరిపూర్ణ సంఖ్యలు లేదా సమగ్ర సంఖ్యలని చూద్దాం. ఉదాహరణకి 6 పరిపూర్ణ సంఖ్య. ఎందుకుట? ఈ 6 ని 1 చేత, 2 చేత, 3 చేత పరిపూర్ణంగా (అంటే, శేషం లేకుండా) భాగించవచ్చు. కనుక 1 ని, 2 ని, 3 ని 6 యొక్క క్రమ విభాజకాలు (proper divisors) అంటారు. ఇప్పుడు ఈ క్రమ విభాజకాలని కూడితే మళ్లా 6 వచ్చేసింది కదా! ఈ లక్షణం ఉన్న సంఖ్య పరిపూర్ణ సంఖ్య. అన్నిటి కంటె చిన్న పరిపూర్ణ సంఖ్య 6.

మరొక ఉదాహరణగా 28 ని తీసుకుందాం. ఈ సంఖ్య క్రమ విభాజకాలు 1, 2, 4, 7, 14 అని ఎవరికి వారే రుజువు చేసుకొండి. ఇప్పుడు ఈ 1, 2, 4, 7, 14 లని కలపగా 28 వచ్చేసింది. కనుక 28 రెండవ పరిపూర్ణ సంఖ్య. తరువాత వచ్చే పరిపూర్ణ సంఖ్య 496. అటుపైన 8128. ఇప్పటివరకు మనకి తెలిసిన పరిపూర్ణ సంఖ్యలన్నీ సరి సంఖ్యలే అవడం గమనార్హం.

పరిపూర్ణ సంఖ్యల గురించి మనకి తెలియని విషయాలు చాల ఉన్నాయి. పరిపూర్ణ సంఖ్యలు సాంతమా? అనంతమా? పరిపూర్ణ సంఖ్యలలో బేసి సంఖ్యలు ఉన్నాయా?

8.4 అపురూప పరిపూర్ణ సంఖ్యలు

ఇప్పుడు అపురూప (unitary) పరిపూర్ణ సంఖ్యల గురించి విచారిద్దాం. ఉదాహరణకి 60 ని తీసుకుందాం. ఈ 60 ని 4 చేత, 15 చేత నిశ్శేషంగా భాగించగలం. కనుక (4,15) జంటని 60 యొక్క విభాజకాలు (‘డివైజర్స్’) అంటారని చెప్పుకున్నాం. మన 60 కి (3, 20), (12, 5), (1,60) కూడ విభాజకాల జంటలే. ఈ విభాజకాలన్నిటిని వరసగా రాసి, వాటిని కూడితే, 1, 3, 4, 5, 12, 15, 20, 60 వెరసి 120. ఇది 60 కి సరిగ్గా రెండింతలు. ఈ లక్షణం ఉన్న సంఖ్యలని అపురూప పరిపూర్ణ సంఖ్యలు అంటారు. ఇప్పటివరకు మనకి తెలిసిన అపురూప పరిపూర్ణ సంఖ్యలు అచ్చం ఆయిదు: 6, 60, 90, 87360, 146361946186458562560000. ఈ అపురూప పరిపూర్ణ సంఖ్యలని కనుక్కున్న ఘనత సాక్షాత్తు మన తెలుగు వాడైన ప్రొఫెసర్ మతుకుమల్లి వేంకట సుబ్బారావు (1921-2006) గారిది. ఈయన కెనడాలో ఎడ్మన్‌టన్ లో పని చేసేవారు. నాకు స్వయంగా తెలిసిన వ్యక్తి. నిగర్వి!

8.5 కలుపుగోలు సంఖ్యలు

ఇప్పుడు 220 ని 284 ని తీసుకుందాం. ఈ 224 యొక్క క్రమ విభాజకాలని తీసుకుని వాటిని కూడితే 284 వస్తుంది. అలాగే 284 యొక్క క్రమ విభాజకాలని తీసుకుని వాటిని కలిపితే 220 వస్తుంది. నా మాటని నమ్మడం ఎందుకు? చదువరులు కాగితం, కలం తీసుకుని, బుర్రకి బుద్ధి చెబితే నేను చెపినది తప్పో, ఒప్పో తేలికగా నిర్ణయించవచ్చు. ఇలా పరస్పర మైత్రీభావం చూపించే సంఖ్యలని కలుపుగోలు (amicable) సంఖ్యలు అంటారు. పూర్వకాలపు యవనులకి ఈ రకం సంఖ్యలంటే పరమ ప్రీతి. యవనుల తరువాత దరిదాపు సహస్రాబ్దం పాటు ఎవ్వరికీ మరొక కలుపుగోలు సంఖ్యల జంట కనబడలేదు. తరువాత (18416, 17296) అనే జంటని పట్టుకున్నారు. విశేషం ఏమిటంటే సా. శ. 1866 లో నికోలో పోగనీనీ (Nicolo Poganini) అనే 16 ఏళ్ల ఇటలీ బాలుడు (1184, 1210) అనే జంటని కనుక్కుని అందరినీ ఆశ్చర్య చకితుల్ని చేసేడు.

ఇలా గ్రీసు దేశస్థులు నాలుగు శతాబ్దాలపాటు సంఖ్యలతో గారడీలు చేసేరు. తరువాత ఏమయిందో కాని రెండు సహస్రాబ్దాలపాటు ఏమీ జరగలేదు. ఈ రెండు వేల సంవత్సరాలని అంధకార యుగం అనవచ్చు. మన దేశంలో కూడ అంధకార యుగం శతాబ్దాలపాటు రాజ్యం ఏలింది. ప్రాచ్యులు, పాశ్చాత్యులు అనే విభేదం చూపించకుండా ఏలినాటి శని అందరినీ అప్పుడప్పుడు పట్టుకుని పీక్కు తింటాడన్నమాట. ఇప్పుడిప్పుడే మనం ఈ తిమిరాంధకారం లోంచి లేచి, కళ్లు నులుపుకుంటూ, ఒళ్లు విరుచుకుంటూ, బయటకి రావడమా, మానడమా అనుకుంటూ, ఆవలిస్తూ ఆలోచిస్తున్నాం.

ఆధారాలు:

1. Conway, J. H. and Guy, R. K. , The Book of Numbers, Springer-Verlag, New York, 1996
2. http://www.mersenne.org/