11.1 రామానుజన్ స్నేహవర్గంలో π
రామానుజన్ స్నేహితులలో π కి ఒక ప్రత్యేక స్థానం ఉందనవచ్చు: π యొక్క విలువని చాల దశాంశ స్థానాల వరకు దక్షతతో లెక్క కట్టే పద్ధతులని ఎన్నిటినో రామానుజన్ కనిపెట్టేరు - కలన యంత్రాల ఆవిష్కరణకి ముందు రోజులలో! ఆ పద్ధతులని కలన యంత్రాల జోరుతో మేళవించి π విలువ బిలియనుల దశాంశ స్థానాల వరకు లెక్క కట్ట గలిగే స్థోమత మనకి ఇప్పుడు వచ్చింది.
ఉదాహరణ 1: ఈ దిగువ ఇచ్చిన అనంత శ్రేణి (1/π) విలువని పరిగణన చెయ్యడానికి బాగా ఉపయోగపడుతుంది.
ఈ ప్రక్రియ చాల జోరుగా అభిసరణ చెందుతుంది (converge అవుతుంది). ఎంత జోరుగా? ఉదాహరణకి k = 0 అనుకుంటే ఈ “అనంత శ్రేణి” లో ఒకే ఒక పదం (term) ఉంటుంది. దాని విలువ కడితే –
π = 9801/(2 x 1103 x 2) = 3.14159273001...
దీనిని మొదట్లో ఇచ్చిన π యొక్క అసలు విలువతో పోల్చితే దోషం 0.0000000764235…. అవుతుంది కనుక దోషం దశాంశ బిందువు తరువాత 8 వ స్థానంలో కనిపిస్తోంది. మిగిలిన పదాలని కూడ చేర్చితే ఈ విలువ ఖచ్చితత్త్వం ఇంకా పెరుగుతుంది. డేవిడ్ గోస్పర్ (David Gosper) 1985 లో ఈ సూత్రం ఉపయోగించి π విలువ 17 మిలియను దశాంశ స్థానాల వరకు లెక్క కట్టగలిగేడు.