దొరుకుతుంది. నిజానికి s విలువ 1 కానంత సేపూ ζ(s )విలువని “ఇంత” అని నిర్ధారించడం పెద్ద కష్టం కాదు.
మరొక ఉదాహరణగా s = - 2 అయితే ζ(-2) = 0 అవుతుందని ఋజువు చెయ్యవచ్చు. నిజానికి s విలువ -2, - 4, - 6,... అయినంత సేపూ ζ(s ) విలువని “సున్న” అని నిర్ధారించడం కూడ పెద్ద కష్టం కాదు.
మూడవ ఉదాహరణగా s = -1 అయితే,
ζ(-1) = 1 +2+ 3 + 4 + …
అనగా 1 నుండి నిర్విరామంగా వచ్చే పూర్ణ సంఖ్యలన్నిటిని కూడితే వచ్చే మొత్తం ఎంతో అంత అన్నమాట. అలా దూరం వెళుతూన్న కొద్దీ మొత్తం పెరుగూనే ఉంటుంది కదా. ఈ అంక శ్రేణి (arithmetic series) విలువ అనంతం ( ∞ ) అవుతుందని అనిపిస్తుంది కాని అలా అవనక్కర లేదని ఇప్పుడు ఋజువు చేస్తాను.
ఈ రకం అపసరణ (divergent) పరిస్థితి ఎదురయినప్పుడు ఆ చేస్తూన్న లెక్క ఎందుకూ పనికిరాకుండా పోతుంది. గణిత శాస్త్రవేత్తలయితే ఇటువంటి అపసంతి శ్రేణికి ముందొక పేరు పెట్టి, పక్కన పెట్టి, మరొక “చెప్పిన మాట వినే” సమస్యని ఎన్నుకుంటారు. కనుక మనం కూడ ఈ రకం శ్రేణి (series) కి అపసరణ శ్రేణి లేదా అపసృత శ్రేణి (divergent series) అని పేరు పెడదాం.
భౌతిక శాస్త్రంలో - ప్రత్యేకించి గుళిక వాదం (quantum theory)లోనూ, పోగుల వాదం (string theoryలోనూ - ఇటువంటి శ్రేణి ఎదురయితే ఏదో పేరు పెట్టేసి తప్పించుకు తిరగడానికి వీలు పడదు. వారు సాధించ దల్చుకున్న సమస్యకి పరిష్కారం కావాలనుకుంటే పైన చూపించిన శ్రేణిని
