రీమాన్ జీటా ప్రమేయాన్ని ఆయిలర్-రీమాన్ జీటా ప్రమేయం అని కూడ అంటారు; ఆయిలర్ తన ప్రమేయాన్ని నిజ రేఖ మీద నిర్వచిస్తే రీమాన్ అదే ప్రమేయాన్ని జంట తలం మీద అనువర్తించేలా చేసేరు. రీమాన్ జీటా ప్రమేయం బొమ్మ 10.3 లో చూపెడుతున్నాను.
ఇక్కడ s అనేది జంట చలనరాసి (complex variable). అంటే, s = a + bi లా ఉంటుంది. ఇందులో a అన్నది నిజ అక్షం మీద దూరం, b అన్నది కల్పన అక్షం మీద దూరం. ఈ జీటా ప్రమేయాన్ని అర్థం చేసుకోడానికిగాను s కి రకరకాల విలువలు ఇచ్చి ఈ ప్రమేయం విలువలు కట్టి చూద్దాం.
ఉదాహరణకి s = 1 అయితే -
ζ(1) = 1/1 +1/2+ 1/3 + 1/4 + …
కళాశాలలో మొదటి సంవత్సరం విద్యార్ధిని ఎవ్వరిని అడిగినా పైన చూపిన శ్రేణిని (లేదా శ్రేఢిని) హరాత్మక శ్రేణి (harmonic series) గా గుర్తు పట్టి దాని మొత్తం అనంతం (∞) అవుతుందని చెప్పగలడు. అనగా జీటా ప్రమేయానికి s = 1 దగ్గర అస్తిత్వం లేదు. శూన్యస్థానాన్ని ఇంగ్లీషులో “జీరో” (zero) అన్నట్లే ఈ s = 1 అనే బిందువు సూచించే అనంత స్థానాన్ని ఇంగ్లీషులో “పోల్” (pole) అంటారు. వీటిని తేలికగా శూన్యాలు, అనంతాలు (zeros and poles) అంటారు.
మరొక ఉదాహరణగా s = 2 అయితే, ζ(2) = 𝜋*𝜋/6 అవుతుందని ఋజువు చెయ్యవచ్చు. ఇక్కడ నక్షత్రాన్ని గుణకారానికి గుర్తుగా వాడేను. ఆయిలర్ ఇచ్చిన ఋజువు పాఠ్యపుస్తకాలలో సులభంగా
