రీమాన్ వెలిబుచ్చిన శిష్టాభిప్రాయం నిజం అవాలి. అప్పుడు గౌస్ ఇచ్చిన ఆ ఉరమర లెక్కలో “దోషం” (error) ఎంత ఉందో లెక్క కట్టవచ్చు.
ముందుకి కదిలే ముందు, ఇక్కడ మనకి కావలసిన అవసరాల మేరకి, ప్రమేయం (function) అంటే ఏమిటో చెప్పనివ్వండి. ప్రమేయం ఒక పెట్టె లాంటిది. ఈ పెట్టెకి ఒక పేరు ఉంటే బాగుంటుంది కదా. సర్వసాధారణంగా, ఇంగ్లీషు ప్రపంచంలో, ఇటువంటి పెట్టెకి f అనే పేరు పెడతారు. ఈ పెట్టె లోనికి మనం x అనే అంశాన్ని పంపితే ఈ పెట్టె మరొక అంశాన్ని బయటకి వెలిగక్కుతుంది – అది ఈ పెట్టె లక్షణం. ఈ ప్రక్రియని గణిత పరిభాషలో f(x) అని రాస్తారు. అంటే, ఉదాహరణకి “f అనే పెట్టెలోకి x అనే సంఖ్యని పంపితే బయటకి f(x) అనే సంఖ్య వస్తుంది” అని అర్థం.
ఇప్పుడు లెజాండర్-గౌస్ నిర్మించిన సూత్రాన్ని వాడడం ఎలాగో చూపెడతాను. చిన్న ఉదాహరణగా x అనే హద్దు పెడదాం. ఈ x ని మించకుండా ఎన్ని ప్రధాన సంఖ్యలు ఉన్నాయో ఆ సంఖ్యని n(x) అనే ప్రమేయంతో సూచిద్దాం. దిగువ పట్టిక చూడండి. ఈ n(x) ఉరమరగా x/ ln x అంత ఉంటుంది అన్నారు లెజాండర్. మచ్చుకి x = 100 అయితే, 100/ ln 100 = 21.7 కనుక 100 లోపున ఉరమరగా 22 ప్రధాన సంఖ్యలు ఉంటాయని ఈ సూత్రం అంచనా వేస్తోంది. నిజానికి 100 లోపున 25 ప్రధాన సంఖ్యలు ఉన్నాయి (లెక్క వేసి చూసుకొండి). కనుక ఈ అంచనాలో దోషం 22 - 25 లేదా “వందింట -3” లేదా 3 శాతం. మరొక మచ్చుగా హద్దు x = 1000, 000,000 అయితే మన అంచనా 109/ ln 109 = 50,847,534. నిజానికి బిలియను హద్దు లోపున 48,254,942 ప్రధాన సంఖ్యలు ఉన్నాయి (ఇది మీరు లెక్క వేసి చూసుకోలేరు కాబట్టి నా మాట నమ్మండి.) కనుక లెజాండర్ అంచనాలో దోషం 48,254,942 - 50,847,534 = -2,592,592 లేదా 0.25 శాతం. ఈ లెజాండర్ లెక్కని గౌస్ మెరుగు పరచేరు. నిజ రేఖ మీద దూరం వెళుతూన్న కొద్దీ గౌస్ అంచనా మెరుగవుతుంది (ఈ దిగువ పట్టిక చూడండి). రీమాన్ శిష్టాభిప్రాయమే ఋజువయితే ఈ అంచనాని పట్టికలో చూపినట్లు ఇంకా మెరుగు పరచవచ్చు. అదీ రీమాన్ శిష్టాభిప్రాయం ప్రాముఖ్యతకి కారణం.
