less than 70 million. ఇదే విషయాన్ని సంప్రదాయిక గణిత పరిభాషలో రాసినప్పుడు బొమ్మ 9.4 లో చూపినట్లు ఉంటుంది:
(ఇక్కడ “ఇన్^ఫిమమ్” (infimum) అన్న మాటకి అర్థం తెలిస్తే కాని ఈ అసమీకరణం పూర్తిగా బోధపడదు. ఇంగ్లీషులో, the infimum of a set of numbers is the largest number that is less than or equal to all the numbers in the set.) ఒక విధంగా చూస్తే “ఇన్^ఫిమమ్” కీ “మినిమమ్” (కనిష్ఠ) కీ పోలిక ఉంది. కాని కొన్ని సందర్భాలలో కనిష్ఠ (“మినిమమ్”) అంశం కావాలని అడిగితే సమాధానం దొరకదు. ఉదాహరణకి “ధన నిజ సంఖ్యలు లో ఏది కనిష్ఠం?” అంటే చెప్పలేము. కాని “ధన నిజ సంఖ్యలు" అన్నీ -3 కంటే పెద్దవే, -2 కంటె పెద్దవే, -1 కంటె పెద్దవే -0.5 కంటె పెద్దవే, -0.1 కంటె పెద్దవే, 0 కంటె పెద్దవే అనుకుంటూ వెళితే ఈ -3, -2, -1, -0.5, …-0.1,... , 0 లలో అన్నిటి కంటె పెద్దదయిన అధో అవధి - గరిష్ఠ అధో అవధి (greatest lower bound) 0 అవుతుంది. మరొక ఉదాహరణగా {2,3,4} అనే సమితికి 2 గరిష్ఠ అధో అవధి; 1 “అధో అవధి” మాత్రమే అవుతుంది కాని గరిష్ఠ అధో అవధి కాజాలదు.)
ఇప్పుడు జాంగ్ సాధించిన ఫలితాన్ని మరొక విధంగా చెప్పి చూస్తాను. ఒక అవధిని తీసుకొని, సంఖ్యలను ఎంత పెంచుకొంటూ పోయినా, తమ మధ్య దూరం ఆ అవధిని మించకుండా ఉండే ప్రధాన జంటలు దొరుకుతాయా లేదా అన్నది ఇక్కడి ప్రశ్న. దొరుకుతాయి అన్నది జాంగ్ నిరూపించారు. ఆ అవధి 70,000,000 కన్నా తక్కువని కూడా నిరూపితమైంది.
గణితంలో ఇటువంటి అవధులని నిర్ణయించడం చాల ముఖ్యమైన పని. ఈ ఫలితాన్ని ఆసరాగా చేసుకుని మరికొందరు ఈ అవధి (bound) ని 246 కి, తరువాత 16 కి కుదించగలిగేరు. అనగా, ఆ
