9.3 నియమిత విరామ సమస్య (Bounded Gap Problem)
ఒక సరళరేఖ మీద సమాన దూరాలలో చుక్కలు పెట్టి, వాటి పక్క 0, 1, 2, 3, ..., అనుకుంటూ నిర్విరామంగా వచ్చే సంఖ్యలని సూచించినప్పుడు దానిని "సంఖ్యా రేఖ" (number line) అంటారు. ఈ సంఖ్యా రేఖ మీద ప్రధాన సంఖ్యలని, మాటవరసకి, ఎర్ర రంగులో రాసేం అనుకుందాం. అప్పుడు గీత మొదట్లో చాల ఎర్ర రంగు సంఖ్యలు కనిపిస్తాయి: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 47 అనే పదహారు సంఖ్యలు 50 కంటె చిన్నవయిన ప్రధాన సంఖ్యలు. సంఖ్యా రేఖ మీద వంద వరకు వెళితే, అంటే 1 నుండి 100 మధ్యలో, ఇరవై అయిదు ప్రధాన సంఖ్యలు కనిపిస్తాయి. లెక్కించి చూసుకొండి. వెయ్యి వరకు వెళితే 168 ప్రధాన సంఖ్యలు కనిపిస్తాయి. అంటే, సంఖ్యా రేఖ మీద దూరం వెళుతూన్న కొద్దీ ప్రధాన సంఖ్యలు కనిపించడం పలచబడుతుంది, లేదా ప్రధాన సంఖ్యల సాంద్రత తగ్గుతుంది. ఈ పలచబడడం గురించి చిన్న ఉపమానం చెబుతాను.
ఉదాహరణకి ప్రధాన సంఖ్యలు ప్రధాన సంఖ్యలతోటే వివాహాలు చేసుకుంటాయని అనుకుందాం. అప్పుడు సంఖ్యా రేఖ మొదట్లో ఉన్న ప్రధాన సంఖ్యలకి సంబంధాలు దొరకడం తేలిక - పక్క పక్కనే సంబంధాలు దొరుకుతాయి. సంఖ్యా రేఖ మీద దూరం వెళుతూన్న కొద్దీ ప్రధాన సంఖ్యలు పలచబడతాయి కనుక అక్కడ ఉన్న వారు సంబంధాలకోసం ఇరుగునా, పొరుగునా చూస్తే దొరకడం కష్టం; కావలసిన లక్షణాలు ఉన్న సంబంధం కోసం “దేశాంతరాలు” దాటి పోవాలి. ఉదాహరణకి "గూగోల్ ప్లెక్స్" (అంటే, 10 గూగోల్ సార్లు వేసి గుణించగా వచ్చిన సంఖ్య) దగ్గర ఉన్న ప్రధాన సంఖ్యకి సంబంధం కావాలంటే ఇటూ, అటూ "గూగోల్" దూరం వెతక వలసి రావచ్చు. (గూగోల్ అంటే 1 తరువాత 100 సున్నలు, "గూగోల్ ప్లెక్స్" అంటే 1 తరువాత గూగోల్ సున్నలు.)
ఇక్కడ గమనించవలసిన విషయం ఏమిటంటే సంఖ్యా రేఖ మీద అనంతమైన దూరం వెళ్లినా ప్రధాన సంఖ్యలు కనిపిస్తూనే ఉంటాయన్నది ఒక అంశం. అంతే కాదు అనంతంగా ఉన్న పూర్ణ సంఖ్యలన్నిటిని కేవలం ప్రధాన సంఖ్యలు మాత్రమే ఉపయోగించి పుట్టించవచ్చు. (The whole
