5. జంట సంఖ్యలు (Complex Number)
ఇప్పుడు మరొక రకం సంఖ్యల అవసరం ఎలా వస్తుందో తెలుసుకుందాం. నిజ (వాస్తవ) రేఖ మీద గుర్తు పెట్టగలిగే సంఖ్యలని నిజ (వాస్తవ) సంఖ్యలు అంటారు. నిజ రేఖ మీద ఒక చోట ఒక చుక్క పెట్టి అక్కడ 0 వేసి, అక్కడనుండి, కొలబద్ద సహాయంతో 1, 2, 3, ..... అనుకుంటూ ఓపిక ఉన్నంత సేపు కుడిపక్కకి జరుగుతూ చుక్కలు పెట్టుకుంటూ పోవచ్చు. సున్న నుండి ఎడం పక్కకి జరుగుతూ -1, -2, -3,..... అనుకుంటూ కూడ చుక్కలు పెట్టగలం. అలాగే ½, 2/3, అనుకుంటూ మనకి తోచిన నిష్ప సంఖ్యల (rational numbers) ఉనికిని గుర్తు పెట్టవచ్చు. నిష్పత్తి రూపంలో రాయడానికి కుదరని √2 వంటి అనిష్ప సంఖ్యలని (irrational numbers), π, e, మొదలైన లోకోత్తర సంఖ్యలని (transcendental numbers) ని కూడ ఈ నిజ రేఖ మీద గుర్తించవచ్చు.
5.1 కల్పన సంఖ్యలు (Imaginary Numbers)
కాని కొన్ని సందర్భాలలో – ప్రత్యేకించి సర్వసాధారణంగా ఎదురయ్యే వర్గ సమీకరణాలని పరిష్కరించే సందర్భాలలో కూడ - ఋణ సంఖ్యలకి వర్గమూలం తియ్యవలసిన అవసరం వస్తూ ఉంటుంది. ఉదాహరణకి x2 +2x + 2 = 0 అనే వర్గ సమీకరణం యొక్క రెండు మూలాలు (roots) లేదా శూన్యస్థానాలు (zeros) లెక్క కట్టేటప్పుడు (√-4) అనే గణిత ప్రక్రియ (అంటే, ఋణ 4 కి వర్గమూలం తియ్యడం) చెయ్యవలసిన అవసరం వస్తుంది. ఇంతకీ (√-4) అంటే ఏమిటి? అనగా, ఏ రెండు సర్వసమానమైన సంఖ్యలని గుణిస్తే ఫలితం (- 4) అవుతుంది? ఇది అసంభవమైన పని, ఎందుకంటే రెండు సర్వసమానమైన సంఖ్యలని (రెండూ ధన అయినా, రెండూ ఋణ అయినా) వాటిని గుణిస్తే వచ్చే సమాధానం ఎల్లప్పుడు ధన సంఖ్యే అవుతుంది కదా. అంటే ఋణ సంఖ్యకి వర్గమూలం తియ్యడం అనే పని అసంభవం. కాని ఇలా ఋణ సంఖ్యకి వర్గమూలం తియ్యవలసిన పని తరచు ఎదురవుతూ ఉంటుంది. కాని నిజ రేఖ మీద తారసపడే సంఖ్యలలో ఈ రకం లక్షణం ఉన్న సంఖ్యలు లేవు. లేదా, ఈ రకం సంఖ్యలకి నిజ రేఖ మీద చోటు లేదు. పూర్వం సంకలనం, వ్యవకలనం,
