ఉన్నాయి. ద్వి-లవ భిన్నాలు అన్నీ రెండవ అరుసలో ఉన్నాయి. అలా అనంతమైనన్ని అరుసలు ఒక దాని కింద మరొకటి ఉన్నాయి. ప్రతి అరుస అంతు లేకుండా అలా కుడి పక్కకి పోతూనే ఉంది. ఈ పట్టికలో మనం ఊహించగలిగే భిన్నాలు అన్నీ ఉన్నాయి. ఒక్క రవ ఆలోచించి చూసుకోండి. ఇప్పుడు, ఇందాకటి లాగే, సహజ సంఖ్యలని ఒక వరుసలో అమర్చి, వాటికి ఎదురెదురుగా వచ్చేలా ఈ పట్టికలోని భిన్నాలని అమర్చగలమేమో చూద్దాం. బొమ్మ 4.2 లోని మొదటి అరుస (row)తో సహజ సంఖ్యలని అమర్చడానికి ప్రయత్నిస్తే ఈ పని జన్మకి తెమలదు. ఎందువల్ల? రెండు శ్రేణులలోనూ అనంతమైనన్ని సంఖ్యలు ఉన్నాయి కనుక. ఈ లెక్కని బొమ్మ 4.2 లోని రెండవ అరుసకి అవకాశమే రాదు. ఈ చిక్కు నుండి బయట పడడానికి ఒక మార్గం ఉంది. బొమ్మ 4.2 లో చూపించిన వ్యూహంలోని సంఖ్యలన్నిటిని ఒకే వరుస క్రమంలో వచ్చేలా అమర్చుదాం. ఈ వరుస క్రమం బొమ్మలో వాలు బాణం గీతలతో చూపించేను. ఈ పద్ధతిని సహజ సంఖ్యలనీ, నిష్ప సంఖ్యలనీ ముఖా-ముఖీ సంబంధం వచ్చేలా అమర్చవచ్చు. అంటే సహజ సంఖ్యలు ఎన్ని ఉన్నాయో నిష్ప సంఖ్యలు అన్నే ఉన్నాయి! సహజ సంఖ్యలు ఎన్ని ఉన్నాయో సరి సంఖ్యలు కూడ అన్నే ఉన్నాయి!!
ఇదే ధోరణిలో మరొక్క ప్రయోగం చేద్దాం. సహజ సంఖ్యలు ఎన్ని ఉన్నాయో అనిష్ప సంఖ్యలు కూడ అన్నే ఉన్నాయా? సహజ సంఖ్యలు ఎన్ని ఉన్నాయో నిజ సంఖ్యలు కూడ అన్నే ఉన్నాయా? ఈ సమస్యలకి ఋజువులు చూపిస్తూ కూర్చుంటే మనం ఇక్కడ నుండి బయట పడేది ఎప్పుడు? అందుకని టూకీగా సమాధానం చెప్పెస్తాను. నిజ సంఖ్యలు కూడ అనంతమే కాని “నిజ సంఖ్యల అనంతం” మనకి ఇంతవరకు పరిచయమైన “సహజ సంఖ్యల అనంతం” కంటె పెద్దది. ఈ తేడాని గుర్తిస్తూ “సహజ సంఖ్యలు అనంతమే అయినా ఒక జాబితాలా రాయడానికి లొంగుతాయి” అంటారు. ఈ భావాన్నే ఇంగ్లీషులో “కౌంటబుల్” (countable) అంటారు కానీ “లిస్టబుల్” (listable) అనడం సమంజసమేమో అనిపిస్తుంది. అయితే లెక్క పెట్టడానికి లొంగని (uncountable or unlistable) అనంతాలు కూడ ఉంటాయా? “నిజ సంఖ్యలు ఎన్ని?” అని అడిగితే “అవి లెక్కపెట్టడానికి లొంగనన్ని” అని చెప్పాలి. ఇలా అనంతాలతో చెలగాటాలాడిన కేంటరు భారతదేశంలో పుట్టి ఉండవలసింది. మన వేదాంత తత్త్వం ఒక మోతాదు పడి ఉంటే మనిషికి ఈ అనంతాల చెలగాటంలో పిచ్చి ఎక్కి ఉండేది కాదు. ఉపనిషత్తులలో కనిపించే ఈ దిగువ శ్లోకంలో
