పుట:Ramanujan Nundi Etu Atu by Vemuri Venkateswararao.pdf/26

ఈ పుట ఆమోదించబడ్డది

ఇప్పుడు మరొక ప్రయోగం చేద్దాం. సహజ సంఖ్యకీ, సహజ సంఖ్యకీ మధ్య ఉన్న ఖాళీలో భిన్నాలు ఉన్నాయి కదా. ఉదాహరణకి 1 కి, 2 కి మధ్య 1/2, 1/3, ¼,… వగైరాలు ఉన్నాయి. అంతే కాదు; 2/3, 2/4, 2/5, వగైరాలు కూడ ఉన్నాయి. అంతే కాదు; ¾, 3/5, వగైరాలు కూడ ఉన్నాయి. ఈ “వగైరాలని” లెక్క వేసుకుంటూ పోతే అవి కూడ అనంతంగా ఉంటాయి.

అంటే ఏమిటన్నమాట? నిజ రేఖ మీద ఏ రెండు పూర్ణ సంఖ్యల మధ్య చూసినా అనంతమైనన్ని భిన్నాలు ఉన్నాయి. అనంతమైనన్ని పూర్ణసంఖ్యల మధ్య ఉన్న అనంతమైనన్ని ఖాళీ స్థలాలలో, ప్రతి దాంట్లోను, అనంతమైనన్ని భిన్నాలు ఉన్నాయి. అటువంటప్పుడు మొత్తం భిన్నాలు ఎన్ని? “అనంతమైనన్ని అనంతాల మొత్తం” కదా! అంటే సహజ సంఖ్యల “అనంతం” కంటె భిన్న సంఖ్యల “అనంత అనంతం” బాగా పెద్దదయి ఉండాలి. అవునా? అబ్బే! అది అలా కాదు; సహజ సంఖ్యలు ఎంత అనంతంగా ఉన్నాయో భిన్న సంఖ్యలు కూడ అంతే అనంతగా ఉన్నాయి అని కేంటర్ (Georg Cantor, 1845 – 1918) ఉటంకించేరు. మొదట్లో ఎవ్వరూ నమ్మలేదు. దీనిని ఋజువు చేసి చూపిస్తాను.

బొమ్మ 4.2 భిన్నాలు (నిష్ప సంఖ్యలు) అనంతంగా ఉన్నాయని ఋజువు చెయ్యడం

మనకి తెలిసిన భిన్నాలని ఒక క్రమ పద్ధతిలో అముర్చుదాం (బొమ్మ 4.2 చూడండి). ఈ బొమ్మని జాగ్రత్తగా రెండు నిమిషాలు అధ్యయనం చెయ్యండి. ఏక-లవ భిన్నాలు అన్నీ మొదటి అరుసలో